Valor de delta na matriz

Dado  o determinante  usar as propriedades dos determinantes  para responder o que ocorre com o valor de delta
(i) E/M = F/N= G/P = H/Q = CONSTANTE
(II) Trocar a 1ª linha com a terceira linha e depois a 2ª coluna com a 4ª coluna
(ii) multiplicar a 2ª linha por x e dividir a 4ª coluna por y
(iv) Somar a A, E, I e M, respectivamente, cB, cF, cJ, cN onde c é uma constante

[latex]\\\Delta =\begin{vmatrix} A & B & C & D \\ E& F & G &H \\ I & J & K & L \\ M & N & O &P \end{vmatrix} \Rightarrow \Delta = \begin{vmatrix} c\cdot I & c\cdot J & c\cdot K & c\cdot L \\ E& F & G &H \\ I & J & K & L \\ M & N & O &P \end{vmatrix} \Rightarrow c \cdot \Delta = \\\\\\\\ = \begin{vmatrix} I & J & K & L \\ E& F & G &H \\ I & J & K & L \\ M & N & O &P \end{vmatrix} \Rightarrow c\cdot \Delta = \begin{vmatrix} I & J & K & L \\ E& F & G &H \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ M & N & O &P \end{vmatrix} \Rightarrow c\cdot\Delta = 0 \therefore \boxed{\Delta = 0}[/latex]




[latex] \\\Delta' = \begin{vmatrix} A & B & C & \frac{1}{y}D \\ x\cdot E & x\cdot F & x\cdot G & \frac{x}{y}H \\ I & J & K & \frac{1}{y}L \\ M & N & O &\frac{1}{y} P \end{vmatrix} \Rightarrow \frac{\Delta '}{y}= \begin{vmatrix} A & B & C & D \\ x\cdot E & x\cdot F & x\cdot G & x\cdot H \\ I & J & K &L \\ M & N & O & P \end{vmatrix} \Rightarrow\\\\\\\\\Rightarrow \frac{x}{y}\cdot\Delta' =\begin{vmatrix} A & B & C & D \\ E& F & G &H \\ I & J & K & L \\ M & N & O &P \end{vmatrix} \Rightarrow \boxed{\Delta' = \frac{y}{x}\cdot\Delta} [/latex]

(IV) Podemos multiplicar uma determinada linha/coluna por uma constante diferente de 0 e somar em outra, de modo que o determinante não se altera. Logo, o determinante continua sendo ∆.

(i) E/M = F/N= G/P = H/Q = CONSTANTE essa não entendi

E = M ∙ k
F = N ∙ k
G = P ∙ k
H = Q ∙ k

Só substituir os valores no determinante.