equações trigonométricas
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equações trigonométricas
por batistao Ter 14 Jul 2020, 01:30
Como trata-se de um produto igual a zero, tentei resolver igualando as duas parcelas a zero, mas travei no desenvolvimento da segunda. Me ajudaria bastante se algum membro desenvolvesse de forma clara, sinalizando as identidades trigonométricas que vier a usar e os passos que fizer.Trata-se de uma questão discursiva do vestibular da UEMA (2013).
p.s.: não é especificado um intervalo para determinação das soluções.
batistao- Iniciante
- Mensagens : 7
Data de inscrição : 21/03/2020
Re: equações trigonométricas
por Lucius Draco Ter 14 Jul 2020, 09:18
i) Supondo:
[latex]3 \cos^{2}{\frac{x}{2}} + 2 \sin^{2}{\frac{x}{2}} + \cos{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}} = 0[/latex]
Temos:
[latex]2 + \cos^{2}{\frac{x}{2}} + \frac{\sin{x}}{2} = 0[/latex]
[latex]4 + 2\cos^{2}{\frac{x}{2}} + \sin{x} = 0[/latex]
[latex]4 + \cos{x} + 1 + \sin{x} = 0[/latex]
[latex]\cos{x} + \sin{x} = -5[/latex]
O que é absurdo!
Logo,
[latex]3 \cos^{2}{\frac{x}{2}} + 2 \sin^{2}{\frac{x}{2}} + \cos{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}} \neq 0[/latex]
ii)Portanto temos apenas:
[latex]\cos{\frac{x}{2}} - \sin{\frac{x}{2}} = 0[/latex]
[latex]\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos{\frac{x}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin{\frac{x}{2}} = 0[/latex]
[latex]\cos{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} \right )}= 0[/latex]
[latex]\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi [/latex]
[latex]\frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi [/latex]
[latex]x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ;\: \forall k\epsilon \mathbb{Z}[/latex]
[latex]3 \cos^{2}{\frac{x}{2}} + 2 \sin^{2}{\frac{x}{2}} + \cos{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}} = 0[/latex]
Temos:
[latex]2 + \cos^{2}{\frac{x}{2}} + \frac{\sin{x}}{2} = 0[/latex]
[latex]4 + 2\cos^{2}{\frac{x}{2}} + \sin{x} = 0[/latex]
[latex]4 + \cos{x} + 1 + \sin{x} = 0[/latex]
[latex]\cos{x} + \sin{x} = -5[/latex]
O que é absurdo!
Logo,
[latex]3 \cos^{2}{\frac{x}{2}} + 2 \sin^{2}{\frac{x}{2}} + \cos{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}} \neq 0[/latex]
ii)Portanto temos apenas:
[latex]\cos{\frac{x}{2}} - \sin{\frac{x}{2}} = 0[/latex]
[latex]\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos{\frac{x}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin{\frac{x}{2}} = 0[/latex]
[latex]\cos{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} \right )}= 0[/latex]
[latex]\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi [/latex]
[latex]\frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi [/latex]
[latex]x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ;\: \forall k\epsilon \mathbb{Z}[/latex]
Lucius Draco- Jedi
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Re: equações trigonométricas
por Elcioschin Ter 14 Jul 2020, 09:44
batistao
Você não respeitou a Regra IX do fórum: o texto do enunciado deve ser obrigatoriamente digitado.
Por favor, leia todas as Regras e siga-as nas próximas postagens.
Você não respeitou a Regra IX do fórum: o texto do enunciado deve ser obrigatoriamente digitado.
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Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71791
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batistao gosta desta mensagem
Re: equações trigonométricas
por batistao Ter 14 Jul 2020, 11:08
Lucius Draco escreveu:i) Supondo:
[latex]3 \cos^{2}{\frac{x}{2}} + 2 \sin^{2}{\frac{x}{2}} + \cos{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}} = 0[/latex]
Temos:
[latex]2 + \cos^{2}{\frac{x}{2}} + \frac{\sin{x}}{2} = 0[/latex]
[latex]4 + 2\cos^{2}{\frac{x}{2}} + \sin{x} = 0[/latex]
[latex]4 + \cos{x} + 1 + \sin{x} = 0[/latex]
[latex]\cos{x} + \sin{x} = -5[/latex]
O que é absurdo!
Logo,
[latex]3 \cos^{2}{\frac{x}{2}} + 2 \sin^{2}{\frac{x}{2}} + \cos{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}} \neq 0[/latex]
ii)Portanto temos apenas:
[latex]\cos{\frac{x}{2}} - \sin{\frac{x}{2}} = 0[/latex]
[latex]\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos{\frac{x}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin{\frac{x}{2}} = 0[/latex]
[latex]\cos{\left (\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} \right )}= 0[/latex]
[latex]\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi [/latex]
[latex]\frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi [/latex]
[latex]x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ;\: \forall k\epsilon \mathbb{Z}[/latex]
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