Equações Trigonométricas

por GutoAz Seg 18 maio 2015, 23:43

Resolva a equação, considerando U o conjunto universo:
Cos2x + Cos6x = 0; U=[0, 2pi]

S={0, pi/8, pi/4, 3pi/8}

Não consegui chegar a uma resposta justificável, quem puder ajudar, agradeço.

por **Euclides** Seg 18 maio 2015, 23:54

Por prostaférese (transformação de soma em produto)

$\\\cos x+\cos y=2\cos\left ( \frac{x+y}{2} \right )\times\cos\left ( \frac{x-y}{2} \right )\\\\\\\cos 2x+\cos 6x=0\;\;\to\;\;2\cos 4x\times\cos 2x\\\\\begin{cases}\cos 4x=0\\\cos 2x=0 \end{cases}$

ficou simples.

por GutoAz Seg 18 maio 2015, 23:59

Euclides, creio que agora preciso usar o 4x e 2x para fazer o conjunto solução, mas, o que me garante que ambos são soluções para a equação? Quer dizer, porque 4x e 2x?

por **Euclides** Ter 19 maio 2015, 00:06

azevedoaugusto escreveu:Euclides, creio que agora preciso usar o 4x e 2x para fazer o conjunto solução, mas, o que me garante que ambos são soluções para a equação? Quer dizer, porque 4x e 2x?

Você está meio "verde" nisso...

1- se o produto de dois fatores é zero, ao menos um dos dois será zero.

$\\2)\;\;\cos 2x=0\;\to\;2x=\frac{\pi}{2}\;\;ou\;\;2x=\frac{3\pi}{2}\\\\x=\frac{\pi}{4}\;\;ou\;\;x=\frac{3\pi}{4}\\\\\cos 4x=0\;\to\;4x=\frac{\pi}{2}\;\;ou\;\;4x=\frac{3\pi}{2}\\\\x=\frac{\pi}{8}\;\;ou\;\;x=\frac{3\pi}{8}$