Circunferência inscrita

por Thiago@eam Ter 16 Jun 2020, 14:59

Seja r o raio do círculo inscrito a um triângulo,
Alfa, beta e gama as distâncias dos incentros aos vértices A , B e C respectivamente, demostrar que :
(Alfa * beta * gama )/r = abc/2p

por Lucius Draco Ter 16 Jun 2020, 17:44

1) Pela fórmula de Herão, temos:

[latex]S_{ABC}=p\cdot r=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}[/latex]

[latex]r^{2}=\frac{(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}{p}[/latex]

2)Cosseno dos ângulos:

[latex]\Delta AB'I \rightarrow \cos (\frac{A}{2})=\frac{p-a}{\alpha}[/latex]

[latex]\Delta BC'I \rightarrow \cos (\frac{B}{2})=\frac{p-b}{\beta}[/latex]

[latex]\Delta CA'I \rightarrow \cos (\frac{C}{2})=\frac{p-c}{\gamma}[/latex]

3)Área dos triângulos:

*∆ABI

[latex]S_{ABI}=\frac{\alpha \cdot \beta \cdot \sin (\pi -\frac{A+B}{2})}{2}=\frac{\alpha \cdot \beta \cdot \sin (\pi -\frac{\pi -C}{2})}{2}=\frac{\alpha \cdot \beta \cdot \cos (\frac{C}{2})}{2}[/latex]

[latex]S_{ABI}=\frac{c\cdot r}{2}[/latex]

Logo,
[latex]\alpha \cdot \beta \cdot \cos (\frac{C}{2})=c\cdot r[/latex]

*∆BCI(Analogamente)

[latex]\beta \cdot \gamma \cdot \cos (\frac{A}{2})=a\cdot r[/latex]

*∆ACI(Analogamente)

[latex]\alpha \cdot \gamma \cdot \cos (\frac{B}{2})=b \cdot r[/latex]

4)Portanto,

[latex](\alpha \cdot \beta \cdot \cos (\frac{C}{2})=c\cdot r)\cdot (\beta \cdot \gamma \cdot \cos (\frac{A}{2})=a\cdot r)\cdot (\alpha \cdot \gamma \cdot \cos (\frac{B}{2})=b \cdot r)[/latex]

[latex]\alpha ^{2}\cdot \beta ^{2}\cdot \gamma ^{2}\cdot \cos (\frac{A}{2})\cdot \cos (\frac{B}{2})\cdot \cos (\frac{C}{2})=a\cdot b\cdot c\cdot r^{3}[/latex]

[latex]\frac{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma }{r}=a\cdot b\cdot c\cdot \frac{r^{2}}{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \cos (\frac{A}{2})\cdot \cos (\frac{\beta }{2})\cdot \cos (\frac{\gamma }{2})}[/latex]

[latex]\frac{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma }{r}=a\cdot b\cdot c\cdot \frac{\frac{(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}{p}}{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \frac{p-a}{\alpha }\cdot \frac{p-b}{\beta }\cdot \frac{p-c}{\gamma }}[/latex]

[latex]{\color{DarkGreen} \frac{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma }{r}=\frac{a\cdot b\cdot c}{p}}[/latex] pale

EDIT1: O ponto D é na verdade o ponto C'
EDIT2: Eu fiquei 20 min. tentanto achar um erro e não encontrei, se afirmação estiver realmente correta avise-me onde está o erro que corrigirei.

por Thiago@eam Ter 16 Jun 2020, 18:20

Lucius Draco, apesar de no final ficar provado que alfa * beta * gama / r = abc/p
ao invés de alfa * beta * gama / r = abc/2p , eu acho que "sobre p" é a única resposta possível, até porque o FME 3 está com tanto erro de gab e digitação que fica impossível não desconfiar...

por Thiago@eam Ter 16 Jun 2020, 18:48

Lucius Draco.

Cara, estou tentando compreender esses passos da etapa 3:

$Circunferência inscrita Png$

mas tá difícil, se puder me dar uma ajuda aí eu agradeço kkkkkkkk.