O que está errado?

por **Emanuel Dias** Seg 11 Fev 2019, 16:59

Dada a inequação cos(x)+sin(x)<1

Fiz da seguinte maneira:

sin(x)+cos(x)=\sqrt{2}sin(\frac{\pi }{4}+x)

\sqrt{2}sin(\frac{\pi }{4}+x)<1

sin(\frac{\pi }{4}+x)<\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\pi }{4}+x=y

sin (y)<\frac{\sqrt{2}}{2}

Solução:

\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq x\leq 2k\pi ou \frac{-\pi }{4}+2k\pi \leq x\leq 2k\pi

O gabarito é \frac{\pi }{2}+2k\pi < x< 2\pi +2k\pi

por **Elcioschin** Seg 11 Fev 2019, 17:59

senx + cosx < 1 ---> Elevando ao quadrado

(sen²x + cos²x) + 2.senx.cosx < 1

1 + 2.senx.cosx < 1

2.senx.cosx < 0 ---> sen(2.x) < 0 ---> Na 1ª volta 2.x está no 3º ou 4º quadrantes:

pi < 2.x < 2.pi ---> pi/2 < x < pi

Para k voltas ---> pi/2 + 2.k.pi < x < pi + 2.k.pi

Acho que existe um erro no gabarito é pi ao invés de 2.pi

por **Emanuel Dias** Seg 11 Fev 2019, 18:12

Elcioschin escreveu:senx + cosx < 1 ---> Elevando ao quadrado

(sen²x + cos²x) + 2.senx.cosx < 1

1 + 2.senx.cosx < 1

2.senx.cosx < 0 ---> sen(2.x) < 0 ---> Na 1ª volta 2.x está no 3º ou 4º quadrantes:

pi < 2.x < 2.pi ---> pi/2 < x < pi

Para k voltas ---> pi/2 + 2.k.pi < x < pi + 2.k.pi

Acho que existe um erro no gabarito é pi ao invés de 2.pi

Provavelmente. Esse gabarito não é muito confiável. Eu não havia pensado nessa maneira de resolução, resolvi alguns exercícios similares desse modo. Obrigado Elcio.

por **Vitor Ahcor** Seg 11 Fev 2019, 19:23

Elcioschin escreveu:senx + cosx < 1 ---> Elevando ao quadrado

(sen²x + cos²x) + 2.senx.cosx < 1

1 + 2.senx.cosx < 1

2.senx.cosx < 0 ---> sen(2.x) < 0 ---> Na 1ª volta 2.x está no 3º ou 4º quadrantes:

pi < 2.x < 2.pi ---> pi/2 < x < pi

Para k voltas ---> pi/2 + 2.k.pi < x < pi + 2.k.pi

Acho que existe um erro no gabarito é pi ao invés de 2.pi

Mestre, acredito que quando o senhor chegou nessa parte: "pi < 2x < 2pi" deveria ter adicionado o 2kpi, ou seja -----------> pi + 2kpi < 2x < 2pi + 2kpi ----> pi/2 + kpi < x < pi + kpi;;;; que é a resposta da questão escrita de outra forma...

por **Vitor Ahcor** Seg 11 Fev 2019, 19:25

endis7 escreveu:Dada a inequação cos(x)+sin(x)<1

Fiz da seguinte maneira:

sin(x)+cos(x)=\sqrt{2}sin(\frac{\pi }{4}+x)

\sqrt{2}sin(\frac{\pi }{4}+x)<1

sin(\frac{\pi }{4}+x)<\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\pi }{4}+x=y

sin (y)<\frac{\sqrt{2}}{2}

Solução:

\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq x\leq 2k\pi ou \frac{-\pi }{4}+2k\pi \leq x\leq 2k\pi

O gabarito é \frac{\pi }{2}+2k\pi < x< 2\pi +2k\pi

Olá, endis7

Sua resposta está quase certa, com exceção da desigualdade ≤ (deveria ser somente < ), note que sua segunda solução está contida na primeira.

por **Emanuel Dias** Seg 11 Fev 2019, 21:04

vitorrochap2013 escreveu:
endis7 escreveu:Dada a inequação cos(x)+sin(x)<1

Fiz da seguinte maneira:

sin(x)+cos(x)=\sqrt{2}sin(\frac{\pi }{4}+x)

\sqrt{2}sin(\frac{\pi }{4}+x)<1

sin(\frac{\pi }{4}+x)<\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\pi }{4}+x=y

sin (y)<\frac{\sqrt{2}}{2}

Solução:

\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq x\leq 2k\pi ou \frac{-\pi }{4}+2k\pi \leq x\leq 2k\pi

O gabarito é \frac{\pi }{2}+2k\pi < x< 2\pi +2k\pi
Olá, endis7

Sua resposta está quase certa, com exceção da desigualdade ≤ (deveria ser somente < ), note que sua segunda solução está contida na primeira.