Soma infinita de Progressão Geométrica - UFPR 2018/2019
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Soma infinita de Progressão Geométrica - UFPR 2018/2019
por DanMurray Seg 22 Out 2018, 15:47
Questão de matemática da última prova da UFPR
Considere a seguinte sequência de funções polinomiais do segundo grau:
\\p_1(x)=2x^2+\frac{x}{3}-3,\;\;p_2(x)=2x^2+\frac{x}{9}-9,\;\;p_3(x)=2x^2+\frac{x}{27}-27,\:\dots\: ,\;\;\\\\p_n(x)=2x^2+\frac{x}{3^n}-3^n,\:\dots
Denotando porS_1 a soma das raízes de p_1(x),\:S_2 a soma das raízes de p_2(x) e assim por diante, pode-se concluir que
a soma infinita
S = S_1 + S_2+S_3+S_4+\dots
é igual a:
a) −1/2.
b) −1/4. -> GABARITO
c) −1/8.
d) 1/4.
e) 1/2.
Minha tentativa foi a seguinte:
\\\text{A soma}\;S_1\;\text{das raizes de}\;p_1\;\text{ser}\acute{a}\;\;\frac{-b}{2a}=\frac{-\frac{1}{3}}{2\cdot2}=-\frac{1}{12}\\\\
\text{A soma}\;S_2\;\text{das raizes de}\;p_2\;\text{ser}\acute{a}\;\;\frac{-b}{2a}=\frac{-\frac{1}{9}}{2\cdot2}=-\frac{1}{36}\\\\
\text{Logo, a raz\~ao q de S ser}\acute{a}\;\frac{1}{3}\\\\S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{12}}{1 - \frac{1}{3}}=-\frac{1}{12}\cdot\frac{3}{2}=-\frac{3}{24}=\boxed{-\frac{1}{8}}
Qual foi meu erro? É possível que haja um erro no gabarito?
Considere a seguinte sequência de funções polinomiais do segundo grau:
Denotando por
a soma infinita
é igual a:
a) −1/2.
b) −1/4. -> GABARITO
c) −1/8.
d) 1/4.
e) 1/2.
Minha tentativa foi a seguinte:
\text{A soma}\;S_2\;\text{das raizes de}\;p_2\;\text{ser}\acute{a}\;\;\frac{-b}{2a}=\frac{-\frac{1}{9}}{2\cdot2}=-\frac{1}{36}\\\\
\text{Logo, a raz\~ao q de S ser}\acute{a}\;\frac{1}{3}\\\\S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{12}}{1 - \frac{1}{3}}=-\frac{1}{12}\cdot\frac{3}{2}=-\frac{3}{24}=\boxed{-\frac{1}{8}}
Qual foi meu erro? É possível que haja um erro no gabarito?
Última edição por DanMurray em Ter 23 Out 2018, 16:47, editado 1 vez(es)
DanMurray- Fera
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Re: Soma infinita de Progressão Geométrica - UFPR 2018/2019
por dd0123 Seg 22 Out 2018, 16:09
É que -b/2a é o vértice x da parábola.
A soma das raízes é -b/a (relações de Girard)
eu errei pois esqueci a fórmula de soma infinita :/
A soma das raízes é -b/a (relações de Girard)
eu errei pois esqueci a fórmula de soma infinita :/
dd0123- Estrela Dourada
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Re: Soma infinita de Progressão Geométrica - UFPR 2018/2019
por DanMurray Seg 22 Out 2018, 16:16
Caramba, erro pífio! Obrigado!
Sendo assim:
\\\text{A soma}\;S_1\;\text{das raizes de}\;p_1\;\text{ser}\acute{a}\;\;\frac{-b}{a}=\frac{-\frac{1}{3}}{2}=-\frac{1}{6}\\\\
\text{A soma}\;S_2\;\text{das raizes de}\;p_2\;\text{ser}\acute{a}\;\;\frac{-b}{a}=\frac{-\frac{1}{9}}{2}=-\frac{1}{18}\\\\
\text{Logo, a raz\~ao q de S ser}\acute{a}\;\frac{1}{3}\\\\S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{6}}{1 - \frac{1}{3}}=-\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}=-\frac{3}{12}=\boxed{-\frac{1}{4}}
Sendo assim:
\text{A soma}\;S_2\;\text{das raizes de}\;p_2\;\text{ser}\acute{a}\;\;\frac{-b}{a}=\frac{-\frac{1}{9}}{2}=-\frac{1}{18}\\\\
\text{Logo, a raz\~ao q de S ser}\acute{a}\;\frac{1}{3}\\\\S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{6}}{1 - \frac{1}{3}}=-\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}=-\frac{3}{12}=\boxed{-\frac{1}{4}}
DanMurray- Fera
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