Logaritmos

por **Kayo Emanuel Salvino** Ter 29 maio 2018, 18:34

Essa expressão matemática
$log_{p}\;log_{p}\sqrt[p]{\sqrt[p]{\sqrt[p]{...\sqrt[p]{p}}}},\;\; p > 0 \;e \; p\neq 1, \;\'e \;igual\; a \;?\\\\ a)\; n\\\\ b)-n\\\\ c)a/b\\\\ d)log _{1/p} (P^{n})$

OBS : Essas raízes sucessivas ocorrem n vezes ( Não sei como colocar isso no LaTeX )

Não tenho o gabarito.
Grato!

por **Willian Honorio** Qua 30 maio 2018, 03:19

$\log _{p}\left ( \log _{p}\sqrt[p]{\sqrt[p]{\sqrt[p]{...\sqrt[p]{p}}}} \right )\\\\=\log_{p}\left ( \log _{p}\sqrt[\underbrace{p.p.p...p}_{n\,vezes}]{p} \right )\\=\log p\left ( \log _{p}\sqrt[p^{n}]{p} \right )\\=\log _{p}\left ( \log _{p}p^{\frac{1}{p^{n}}} \right )=\log _{p}\left ( \frac{1}{p^{n}}.\log _{p}p \right )\\=\log _{p}\frac{1}{p_{n}}=\log_{p}1-\log_{p}p^{n}=0-n.\log _{p}p\\\boxed{\therefore \log _{p}\left ( \log _{p}\sqrt[p]{\sqrt[p]{\sqrt[p]{...\sqrt[p]{p}}}} \right )=-n}$

Parece-me que a alternativa d também é correta, caso não haja nenhum erro de digitação.

por **Kayo Emanuel Salvino** Qua 30 maio 2018, 08:58

Obrigado. Era até simples.

Vou procurar a foto da questão e postar ( Para garantir que não tem erro ).

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