Equação de Baily completa 210 anos.

Luiz 2017 escreveu:

Este ano, 2018, a equação de Baily, para cálculo da taxa de juros, completa 210 anos de existência. Parece ser justo uma pequena lembrança da mesma.

Sabemos que a equação geral dos juros, é expressa por:

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}

Esta equação, obviamente, não tem solução algébrica direta para a taxa, visto tratar-se de uma equação implícita em relação à variável "i", onde:

PV = valor presente.
PMT = valor da prestação.
n = número de períodos de tempo.
i = taxa de juros.

Por conseguinte, como já foi mostrado em https://pir2.forumeiros.com/t134968-breves-consideracoes-sobre-o-calculo-da-taxa , o desdobramento desta equação recai numa equação polinomial de grau "n+1". Mas, como todos sabemos também, equações polinomiais de grau superior ao 4º, no geral, não têm solução, exceto se utilizados métodos iterativos que são trabalhosos e enfadonhos. Mesmo em equações de grau 3 ou 4, a solução não é algo simples de se obter.

Por isso que, não sem motivos, há mais de 4 séculos, um grande número de pesquisadores e estudiosos se empenham para encontrar uma solução aproximada, explícita, compacta e simples, que possa ser utilizada como alternativa à equação implícita no cálculo da taxa.

A literatura mostra que neste período incontáveis aproximações foram apresentadas. A mais conhecida delas, embora não seja a mais precisa, talvez tenha sido aquela apresentada pelo inglês Francis Baily, em 1808, com a publicação de seu livro "The Doctrine of Interest and Annuities", que está disponibilizado no Google Books em https://books.google.com.br/books?id=hiLOAAAAMAAJ&printsec=frontcover&hl=pt-BR&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false . Como alternativa à equação implícita, Baily propôs a seguinte fórmula aproximativa:

i = h \cdot \left[ \frac{12-(n-1)h} {12-2(n-1)h} \right]

onde:

h = \left( \frac{n\cdot PMT}{PV} \right) ^ {\frac{2}{n+1}} - 1

Quase 130 anos depois o italiano Enrico Lenzi, como mostra seu livro "Lezioni di Matematica Finanziaria", publicado em 1936, revisou a equação de Baily, validando-a para n<=50 e propôs a seguinte alteração na mesma para n>50 (às vezes chamada equação de Baily-Lenzi):

i = \frac{12h-6k-(n-1)h^2} {6-(n-1)h}

onde:

h = \left( \frac{n\cdot PMT}{PV} \right) ^ {\frac{2}{n+1}} - 1

e

k = \left[ \frac{n\cdot h}{1-(1+h)^{-n}} \right] ^ {\frac{2}{n+1}} - 1

Estas fórmulas, em suas épocas, e por algum tempo, foram empregadas até com alguma confiança. Mas, em que pese serem aproximações, constata-se que apresentam desvios bem significativos, alguns até inaceitáveis.

No passado o problema da taxa de juros era resolvido com o uso das chamadas "tabelas de taxas de juros". Depois, com o surgimento das calculadoras financeiras, dos aplicativos e das planilhas de cálculo, tipo Excel, esse problema passou a ser resolvido quase que instantaneamente. Isso pode até ter feito com que as soluções por equações aproximadas perdessem algumas de suas utilidades originais, o que, no entanto, não diminuiu a importância do problema, que ainda continua recebendo atenções.

LC - 24/maio/2018.