Trigonometria

Uma observação: a abscissa se encontra no intervalo de -1 até 1 e a ordenada se encontra no intervalo de 0 até 1.

Alguns padrões e algumas simetrias...

Spoiler:

Pelo padrão dos pontos observados, podemos concluir que a trajetória seguida pela partícula é uma curva fechada. A partir da primeira observação, tendo em vista os pontos P(1,1/2) e P(-1,1/2), podemos dizer que esses pontos são os extremos da curva em relação ao eixo x. Dos pontos em vermelho, é fácil ver que as outras extremidades da curva, em relação ao eixo y, são dadas pelos pontos P(0,0) e P(0,1). Observando os pontos P(1,1/2), P(-1,1/2), P(0,0) e P(0,1), já da para ver que essa curva não é uma circunferência, mas sim uma elipse. Como não há restrições para o parâmetro "t", a curva pode estar em todos os quadrantes, embora nós já tenhamos provado que essa curva só está no primeiro e segundo quadrantes. Sendo assim, as proposições 01 e 02 já podem ser eliminadas.

A proposição 04 também é falsa, a partícula só passa na origem a cada 1 segundo.

Proposição 16: verdadeira, basta tomar os pontos P(1,1/2), P(-1,1/2), P(0,0) e P(0,1) e substituí-los nessa equação que será verificada a igualdade.

Agora eu irei partir para a proposição 08: da intersecção entre a reta e a elipse, chega-se nos seguintes pontos: (0,0) e (1,1/2), o quais ocorrem, respectivamente, para os tempos t=1 e t=1/4. Portanto, esta proposição é falsa tendo em vista que a situação proposta por esta proposição ocorre no intervalo de 0,75 s.