Breves considerações sobre o cálculo da taxa.

Breves considerações sobre o cálculo da taxa de juros.

Da conhecida equação geral de juros em séries uniformes, para o valor presente, tem-se:

PV=PMT\cdot\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}

onde:

PV = valor presente.
PMT = prestação.
n = número de períodos.
i = taxa de juros.

Desta equação pode-se explicitar PMT:

PMT=PV\cdot\frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}

Pode-se também explicitar n:

n=\frac{\log \left[ PMT/(PMT-PV\cdot {i})\right] }{\log(1+i)}

Mas quanto à "i" surge um elemento complicador: não dá para explicitar. Busca-se então uma solução não explícita.

Dividindo ambos os membros da equação geral por PMT e multiplicando por i:

\left( \frac{PV}{PMT} \right) \cdot i = 1 - (1+i)^{-n}

Fazendo x = 1+i:

\left( \frac{PV}{PMT} \right) \cdot (x-1) = 1 - x^{-n}

\left( \frac{PV}{PMT} \right) \cdot x - \left( \frac{PV}{PMT} \right) = 1 - x^{-n}

Multiplicando ambos os membros por xⁿ:

\left(\frac{PV}{PMT} \right)\cdot x\cdot x^n-\left(\frac{PV}{PMT}\right)\cdot x^n=1\cdot x^n-x^{-n}\cdot x^n

ou, por fim:

\left( \frac{PV}{PMT} \right) \cdot x^{n+1} - \left( \frac{PV}{PMT} +1 \right) \cdot x^n + 1 = 0

Como se vê acima, a determinação da taxa é a parte mais penosa no cálculo dos juros financeiros, pois para as demais variáveis tem-se solução aigébrica direta, explícita e exata, enquanto que para a taxa recai-se numa equação polinomial de grau "n+1" que, portanto, admite "n+1" raízes, distintas ou não, reais ou complexas. Em termos de taxa de juros, as soluções de valor negativo ou complexo são descartadas. Mas há um pormenor: equações de grau superior ao 4º em geral não têm solução, salvo em raríssimos casos especiais, embora existam alguns métodos numéricos que possibilitam a solução aproximada destas equações. Uma vez calculado x, faz-se i = 1-x.

Por isso que, não sem motivos, há alguns séculos, pesquisadores e estudiosos se empenham em encontrar soluções mais simples, que possam ser utilizadas como alternativas à equação polinomial. Simpson apresentou sua fórmula em 1760; Baily em 1808; Lenzi em 1936; Karpin em 1967. É um desafio que ainda hoje persiste. A equação de Cantrell é de 2007.

Os meios práticos alternativos atuais para determinação da taxa, usualmente empregados, são:

a) O uso de calculadoras financeiras, desenvolvidas especialmente para esta finalidade, tal como a HP 12C, a Texas BA-II Plus, a Casio FC-200V, a Elgin FC-125, a BrTc FC-12, e outras, onde determina-se a taxa apenas dando entrada nas demais variáveis conhecidas.

b) O uso de fórmulas empíricas aproximativas, tais como as de Baily, Lenzi, Karpin, Cantrell e outras.

c) O uso de aplicativos matemáticos, tais como o Wolfram-Alpha, Symbolab, ou ainda emuladores de calculadoras, tanto em computadores quanto em smartphones.

d) O uso de calculadoras científicas que possuam a função “solve”, como a Casio FX-991, a Procalc SC-991, e outras, pois esta função é capaz de resolver, por técnica iterativa de aproximação, qualquer equação, implícita, transcendental, incluindo polinomial de qualquer grau.

e) O uso de algum método iterativo como o de Newton-Raphson que é um dos mais conhecidos e utilizados por convergir para o resultado muito rapidamente. Ressalte-se que mesmo tendo as equações múltiplas raízes, os métodos iterativos encontram uma única solução, real.

f) O uso de planilhas de cálculo como Excel.


Raciocínio idêntico aplica-se aos cálculos com valor futuro, onde a determinação da taxa recairá na solução de uma equação polinomial de grau "n":

FV=PMT\cdot\frac{(1+i)^n-1)}{i}

PMT=FV\cdot\frac{i}{(1+i)^n-1}

n=\frac{\log\left(FV\cdot i/PMT+1\right)}{\log(1+i)}

Para a taxa, da mesma forma divide-se ambos os membros da equação geral por PMT e multiplica-se por i:

\left( \frac{FV}{PMT} \right) \cdot i = (1+i)^n - 1

Fazendo x = 1+i

\left( \frac{FV}{PMT} \right) \cdot (x-1) = x^n - 1

\left( \frac{FV}{PMT} \right) \cdot x - \left( \frac{FV}{PMT} \right) - x^n + 1 = 0

Portanto:

x^n - \left( \frac{FV}{PMT} \right) \cdot x + \left( \frac{FV}{PMT}\right) - 1 = 0


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Exemplos:

1º) Financiamento:

PV = 1.803,12
PMT = 204,90
n = 10 m
i = ?

\left( \frac{1803,12}{204,90} \right) \cdot x^{10+1} - \left( \frac{1803,12}{204,90} + 1 \right) \cdot x^{10} + 1 = 0

8,8 \cdot x^{11} - 9,8 \cdot x^{10} + 1 = 0

Pelo Wolfram-Alpha: x ≈ 1,0239; portanto i ≈ 2,39% a.m.


2º) Investimento:

FV = 78.273,00
PMT = 4.900,00
n = 14 m
i = ?

x^{14} - \left( \frac{78273}{4900} \right) \cdot x + \left( \frac{78273}{4900}\right) - 1 = 0

x^{14} - 15,974 \cdot x + 14,974 = 0

Pelo Wolfram-Alpha: x ≈ 1,0200; portanto i ≈ 2,00% a.m.


3º) A HP 12c dá os mesmos resultados.

Luiz - Jul/2017