Qual deverá ser a taxa de juros? (2)

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera com juros simples, fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos serão feitos sempre no início de cada mês, e que objetiva obter um saldo de $ 52.012,00 no final do 36º mês, qual deverá ser a taxa mensal de juros?

R: 1,8%

Luiz 2017 escreveu:

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera com juros simples, fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos serão feitos sempre no início de cada mês, e que objetiva obter um saldo de $ 52.012,00 no final do 36º mês, qual deverá ser a taxa mensal de juros?

R: 1,8%

Boa tarde, Luiz 2017.

1° dep = _5000 + 36*_5000*i = _5000 + 180.000 i
2° dep = _3000 + 28*_3000*i = _3000 +   84.000 i
3° dep = 12000 + 23*12000*i = 12000 + 276.000 i
4º dep = 10000 + 21*10000*i = 10000 + 210.000 i
5º dep = _7000 + 12*_7000*i = _7000 +   84.000 i
-----------------------------------------------------------
Totalizando fica ........... 52012 = 37000 + 834.000 i

834.000 i = 52012 - 37000 = 15012

i = 15012/834000
i = 0,018
i% = 0,018 * 100
i% = 1,8% a.m.




Um abraço.

Luiz 2017 escreveu:

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera com juros simples, fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos serão feitos sempre no início de cada mês, e que objetiva obter um saldo de $ 52.012,00 no final do 36º mês, qual deverá ser a taxa mensal de juros?

R: 1,8%

Solução:

Ivomilton, meu resultado é idêntico ao seu, embora por outro caminho.

Trata-se de uma série financeira antecipada de natureza aleatória. Como já dito, a forma de obter o seu valor futuro é calculá-los individualmente para cada termo, e realizar a soma dos mesmos.

Neste caso, a fórmula geral de série antecipada do valor futuro sob juros compostos é:

\\FV = PMT_1\cdot(1+i)^{n-n_1+1} + PMT_2\cdot(1+i)^{n-n_2+1} + PMT_3\cdot(1+i)^{n-n_3+1}\\ + PMT_4\cdot(1+i)^{n-n_4+1} + PMT_5\cdot(1+i)^{n-n_5+1}

Por analogia, a fórmula geral do valor futuro para série antecipada sob o regime de juros simples será:

\\FV = PMT_1\cdot[1+(n-n_1+1)i] + PMT_2\cdot[1+(n-n_2+1)i]\\ + PMT_3\cdot[1+(n-n_3+1)i] + PMT_4\cdot[1+(n-n_4+1)i] + PMT_5\cdot[1+(n-n_5+1)i]

onde:

Parcelas:
PMT₁ = valor do 1º depósito = 5.000,00
PMT₂ = valor do 2º depósito = 3.000,00
PMT₃ = valor do 3º depósito = 12.000,00
PMT₄ = valor do 4º depósito = 10.000,00
PMT₅ = valor do 5º depósito = 7.000,00
FV = 52.012,00

Meses:
n₁ = período onde ocorreu o 1º depósito = 1
n₂ = período onde ocorreu o 2º depósito = 9
n₃ = período onde ocorreu o 3º depósito = 14
n₄ = período onde ocorreu o 4º depósito = 16
n₅ = período onde ocorreu o 5º depósito = 25
n = nº total de períodos de tempo (em meses) = 36

Taxa:
i = ?

Substituindo valores:

\\52012 = 5000\cdot[1+(36-1+1)i] + 3000\cdot[1+(36-9+1)i] + 12000\cdot[1+(36-14+1)i]\\ + 10000\cdot[1+(36-16+1)i] + 7000\cdot[1+(36-25+1)i]

\\\small{52012 = 5000\cdot(1+36i) + 3000\cdot(1+28i) + 12000\cdot(1+23i) + 10000\cdot(1+21i) + 7000\cdot(1+12i)}

\\\small{52012 = 5000+180000i + 3000+84000i + 12000+276000i + 10000+210000i + 7000+84000i}

15012 = 834000i

\boxed{i=1,8\%\;\text{a.m.}}