Qual deverá ser a taxa 2.

O problema foi colocado aqui para discussão. Como não compareceram interessados, vamos à resolução:


PV_1 \cdot (1+i_1)^n = PMT \cdot \frac {(1+i_2)^n - 1}{i_2} + PV_2 \cdot (1+i_2)^n

onde:

PV₁ = 400.000,00 = valor do imóvel hoje.
i₁ = 0,9% = 0,009 a.m. = taxa de aumento do imóvel.
PV₂ = 150.000,00 = depósito inicial na poupança.
PMT = 7.487,20 = valor dos depósitos mensais na poupança.
n = 48 = número de depósitos mensais.
i₂ = taxa de rendimento da poupança = ?

Substituindo valores, tem-se:

400000 \cdot (1+0,009)^{48} = 7487,20 \cdot \frac {(1+i_2)^{48} - 1}{i_2} + 150000 \cdot (1+i_2)^{48}

400000 \cdot (1,009)^{48} = 7487,20 \cdot \frac {(1+i_2)^{48} - 1}{i_2} + 150000 \cdot (1+i_2)^{48}

400000 \times 1,53736142 = 7487,20 \cdot \frac {(1+i_2)^{48} - 1}{i_2} + 150000 \cdot (1+i_2)^{48}

614944,5696 = 7487,20 \cdot \frac {(1+i_2)^{48} - 1}{i_2} + 150000 \cdot (1+i_2)^{48}

Multiplicando membro a membro por i₂:

614944,5696 \cdot i_2 = 7487,20 \cdot \left[ (1+i_2)^{48} - 1 \right] + 150000 \cdot (1+i_2)^{48} \cdot i_2

Fazendo x = 1 + i₂ (e portanto i₂ = x - 1):

614944,5696 \cdot (x-1) = 7487,20 \cdot \left( x^{48} - 1 \right) + 150000 \cdot x^{48} \cdot (x-1)

Realizando operações:

150000 \cdot x^{49} - 142512,80 \cdot x^{48} - 614944,5696 \cdot x + 607457,3696 = 0

Dividindo membro a membro por 150000:

x^{49} - 0,9500853 \cdot x^{48} - 4,09963046 \cdot x + 4,00497158 = 0

Resolvendo pelo método de Newton:

x(0) =  1.009999990463257
x(1) =  1.006223559379578
x(2) =  1.006009221076965
x(3) =  1.00600004196167

x = 1,006000

Como i = x - 1

i = 1,006000 - 1

i = 0,006000

i = 0,6% a.m.