(OBM-98) Para quantos valores de p

Para quantos valores reais de p a equação x³ – px² + px –1 = 0 tem
todas as raízes reais e inteiras ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ou mais

Gabarito: b

Para quantos valores reais de p a equação x³ – px² + px –1 = 0 tem todas as raízes reais e inteiras ?

Fatorando a expressão vem,

(x³-1)-px(x-1)=0

(x³-1)=(x-1)(x²+x+1)

(x-1)(x²+x+1)-px(x-1)=0

(x-1)(x²+x-px+1)=0

x-1=0

x²+x(1-p)+1=0

De cara eliminamos p=1 caso contrário teríamos raiz complexa.

x=[(p-1)±√(1-p)²-4]/2

Como devemos ter todas as raízes inteiras então o valor dentro do radical tem que ser um quadrado perfeito, então:

(1-p)²=4 --->1-p=±2 --->1-p=2 --->p=-1 --> (i)

1-p=-2 --->p=3 -->(ii)

Para o caso (i) temos, x=-1

Para o caso (ii) temos, x=1

Conclusão:
p pode ser :

p=-1 ou p=3

Use este programa para ver que p=2 gera raízes complexas.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B3-2x%C2%B2%2B2x-1%3D0