Função trigonométrica
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Função trigonométrica
por Marcilio_Lima Dom maio 21 2017, 10:31
Determine o período e a imagem da função y = 3senx + 4cosx.
Marcilio_Lima- Padawan
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Re: Função trigonométrica
por igorrudolf Seg maio 22 2017, 05:48
Tem um macete para resolver esse tipo de exercício:
y = a.sen(x) + b.cos(x) → y = √(a²+b²).sen (θ + x) ; θ = arctan (b/a)
Caso você não conheça, pode decorar, ou se quiser que demonstre, pode falar que é bem simples...
Com isso temos que y = 3sen(x) + 4cos(x) pode ser reescrito:
y = √(3²+4²). sen (θ + x) → y = 5sen(θ + x)
Sabendo que o seno de qualquer ângulo é sempre um valor entre -1 e 1, sabemos que y assumirá o máximo = 5 e mínimo = -5, portanto:
Imagem = [-5, 5]
Como não temos nenhuma constante multiplicando ''x'', o período será 2pi.
y = a.sen(x) + b.cos(x) → y = √(a²+b²).sen (θ + x) ; θ = arctan (b/a)
Caso você não conheça, pode decorar, ou se quiser que demonstre, pode falar que é bem simples...
Com isso temos que y = 3sen(x) + 4cos(x) pode ser reescrito:
y = √(3²+4²). sen (θ + x) → y = 5sen(θ + x)
Sabendo que o seno de qualquer ângulo é sempre um valor entre -1 e 1, sabemos que y assumirá o máximo = 5 e mínimo = -5, portanto:
Imagem = [-5, 5]
Como não temos nenhuma constante multiplicando ''x'', o período será 2pi.
igorrudolf- Jedi
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Função trigonométrica
por Marcilio_Lima Ter maio 23 2017, 09:00
igorrudolf escreveu:Tem um macete para resolver esse tipo de exercício:
y = a.sen(x) + b.cos(x) → y = √(a²+b²).sen (θ + x) ; θ = arctan (b/a)
Caso você não conheça, pode decorar, ou se quiser que demonstre, pode falar que é bem simples...
Com isso temos que y = 3sen(x) + 4cos(x) pode ser reescrito:
y = √(3²+4²). sen (θ + x) → y = 5sen(θ + x)
Sabendo que o seno de qualquer ângulo é sempre um valor entre -1 e 1, sabemos que y assumirá o máximo = 5 e mínimo = -5, portanto:
Imagem = [-5, 5]
Como não temos nenhuma constante multiplicando ''x'', o período será 2pi.
Olá Igor. Tentei aplicar esse macete à função y = 7cos(x) - 3sen(x) e não deu certo.
Marcilio_Lima- Padawan
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Re: Função trigonométrica
por igorrudolf Ter maio 23 2017, 11:44
Olá Marcilio,
O senhor está correto, acredito que esse macete só funcione para funções da forma: y = a.sin(x) + b.cos(x), com a e b positivos
Nunca utilizei esse macete para expressões da forma que o senhor indicou, mas fazendo alguns testes, acredito que seja possível, fazendo uma pequena alteração. Para y = -a.sin(x) + b.cos(x), temos:
y = √(a²+b²) sin (θ - x) ; θ = arctan (-b/a)
Vou deixar a justificativa para o primeiro caso e fazendo manipulações o senhor conseguirá chegar em outros casos:
Seja y = a.sin(x) + b.cos(x) e o triângulo retângulo da figura:
Vamos multiplicar e dividir a.sin(x) + b.cos(x) por √(a²+b²)
}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\:&space;+\frac{bcos(x)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\:&space;\:&space;) "\sqrt{a^{2}+b^{2}}\: \: (\: \: \frac{a\: sin(x)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\: +\frac{bcos(x)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\: \: )")
Note ainda que no triângulo retângulo da figura temos:
sin (θ) = b / √(a²+b²)
cos (θ) = a / √(a²+b²)
Assim podemos reescrever a nossa expressão:
√(a²+b²) . [ cos(θ)sin(x) + sin(θ)cos(x) ]
Além disso, sin (x+θ ) = cos(θ)sin(x) + sin(θ)cos(x)
Portanto:
√(a²+b²) . [ cos(θ)sin(x) + sin(θ)cos(x) ] = √(a²+b²) . sin (x+θ)
--------------------------------------------------------------------------------------------
Para o caso que o senhor indicou, onde y = -a.sin(x) + b.cos(x), eu reescrevi -a.sin(x) como: a.sin(pi + x), chegando em: y = a.sin(x + pi) + b.cos(x) e, fazendo o procedimento acima, cheguei na expressão modificada...
Sinceramente não sei se a expressão que encontrei é válida para todos os casos, então gostaria que os colegas do fórum opinassem, pois só tenho certeza do caso mais básico mesmo.
O senhor está correto, acredito que esse macete só funcione para funções da forma: y = a.sin(x) + b.cos(x), com a e b positivos
Nunca utilizei esse macete para expressões da forma que o senhor indicou, mas fazendo alguns testes, acredito que seja possível, fazendo uma pequena alteração. Para y = -a.sin(x) + b.cos(x), temos:
y = √(a²+b²) sin (θ - x) ; θ = arctan (-b/a)
Vou deixar a justificativa para o primeiro caso e fazendo manipulações o senhor conseguirá chegar em outros casos:
Seja y = a.sin(x) + b.cos(x) e o triângulo retângulo da figura:
Vamos multiplicar e dividir a.sin(x) + b.cos(x) por √(a²+b²)
Note ainda que no triângulo retângulo da figura temos:
sin (θ) = b / √(a²+b²)
cos (θ) = a / √(a²+b²)
Assim podemos reescrever a nossa expressão:
√(a²+b²) . [ cos(θ)sin(x) + sin(θ)cos(x) ]
Além disso, sin (x+θ ) = cos(θ)sin(x) + sin(θ)cos(x)
Portanto:
√(a²+b²) . [ cos(θ)sin(x) + sin(θ)cos(x) ] = √(a²+b²) . sin (x+θ)
--------------------------------------------------------------------------------------------
Para o caso que o senhor indicou, onde y = -a.sin(x) + b.cos(x), eu reescrevi -a.sin(x) como: a.sin(pi + x), chegando em: y = a.sin(x + pi) + b.cos(x) e, fazendo o procedimento acima, cheguei na expressão modificada...
Sinceramente não sei se a expressão que encontrei é válida para todos os casos, então gostaria que os colegas do fórum opinassem, pois só tenho certeza do caso mais básico mesmo.
igorrudolf- Jedi
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