Função trigonométrica

por nathaliacooper Ter 24 Fev 2015, 22:21

Encontre o valor maximo e o minimo que a funçao f(x)=(cos x)^6 + (sen x)^6 pode assumir?
R:
min: 1/4
máx: 1

p.s: já vi uma resolução mas não entendi...se puder ser resolvida passo a passo p/ melhor compreensão agradeço bastante

por **Carlos Adir** Ter 24 Fev 2015, 22:37

$\\ f(x)=\left(cos \ x \right )^6 + \left(sen \ x \right )^6 = \\ \left(cos^2 \ x \right )^3+sen^6 \ x = \\ \left(1-sen^2 \ x \right )^3+sen^6 x = \\ 1-3\cdot sen^2 \ x+3\cdot sen^4 \ x - sen^6 \ x+sen^6 \ x = \\ 3 \cdot sen^4 \ x -3 \cdot sen^2 \ x+1 \\ 3 \left(sen^4 \ x - sen^2 \ x + \dfrac{1}{4} \right )+\dfrac{1}{4} \\ 3 \left(sen^2 \ x - \dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{1}{4}$

Podemos dizer então:
$f(x)= 3 \left(sen^2 \ x - \dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{1}{4}$

Agora, podemos perceber que o ponto de máximo será quando o valor de seno for o máximo, isto é:
sen x = 1
$\\ f\left(\dfrac{\pi}{2} \right )=3\left(sen^2 \ \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{1}{4} \\ f\left(\dfrac{\pi}{2} \right )=3\left(1-\dfrac{1}{2} \right )^{\color{Red} 2}+\dfrac{1}{4} \\ f\left(\dfrac{\pi}{2} \right )=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1$
Agora o mínimo, será quando o valor dentro do quadrado, isto é, (sen² x - (1/2))² for equivalente a 0, ou seja, quando:
sen² x - (1/2) = 0 --> sen² x = 1/2 --> sen x = (√2)/2
Então:
$\\ f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)= 3 \left(sen^2 \ \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{1}{4} \\ f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=3 \left(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^2-\dfrac{1}{2} \right )+\dfrac{1}{4} \\ f\left(\dfrac{\pi}{4} \right )=3 \cdot 0 +\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$

por **jango feet** Ter 24 Fev 2015, 23:00

Seja a expressão:
$E=(sen^2x+cos^2x)^3 \Rightarrow E=sen^6x+cos^6x-3sen^2xcos^2x(cos^2x+sen^2x) \Rightarrow E=sen^6x+cos^6x-3sen^22x/4$
Sendo assim, podemos reescrever a função:
$f(x)=(sen^2x+cos^2x)^3-3sen^22x/4$
Que na verdade é:
$f(x)=1-3sen^22x/4$
Agora, para encontrar o máximo basta atribuir 0 ao último fator e 1 (que é o valor máximo de sen(2x)^2) quando se quer obter o valor mínimo.

por **Carlos Adir** Ter 24 Fev 2015, 23:44

nathaliacooper escreveu:Oi, tenho uma dúvida nesse link https://pir2.forumeiros.com/t83497-funcao-trigonometrica você me ajudou bastante compreendi bem e agradeço por isso, no entanto, na linha 10 da tua resolução consta que:

3(1-1/2)= 3/4 que somando com 1/4= 1, como consta no gabarito

porém 3(1-1/2) é igual a 1.5, que transformando em fração 3/2, e agora?

Faltou um quadrado, o correto é:
$\\ f\left(\dfrac{\pi}{2} \right )=3\left(sen^2 \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{1}{4} \\ f\left(\dfrac{\pi}{2} \right )=3\left(1-\dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{1}{4} \\ f\left(\dfrac{\pi}{2} \right )=3\left(\dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{1}{4} \\ f\left(\dfrac{\pi}{2} \right )=3 \cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=1$