Bloco deslizando sobre prisma

Um bloco de massa m desliza sobre um prisma de massa M que por sua vez desliza para trás sobre a superfície horizontal de uma mesa (Figura 2). Encontre a aceleração do prisma em relação a mesa, considerando que não há atrito sobre as superfícies.



Resposta: a = mgcosθsenθ/(M + msen²θ)

Fazendo o diagrama de corpo isolado no bloco de massa m, descobre-se que atuam nele:

F: força resultante do movimento do bloco sobre o prisma.
p: peso do bloco.
F_n: reação do prisma sobre o bloco.

Repare primeiramente que o bloco de massa m não varia sua posição na direção perpendicular à "hipotenusa" do triângulo que forma o prisma, de forma que as forças que atuam nessa direção se anulem:

F_n + F_y = p_y
F_n = p_y - F_y

p = mg
p_y = mgcosθ

F = ma
F_y = masenθ

F_n = mgcosθ - masenθ
F_n = m(gcosθ - asenθ)

Fazendo o diagrama de corpo isolado do prisma de massa M, por sua vez, tem-se as forças atuantes:

F_n: reação do bloco sobre o prisma.
P: peso do prisma somado ao peso do bloco.
F_N: reação do solo sobre o prisma.

Note, entretanto, que a única força capaz de gerar movimento aqui é a compoente horizontal da reação F_n do bloco sobre o prisma, já que as outras atuam perpendicularmente ao solo (e, obviamente, não gerarão movimento, já que o prisma não irá "sair voando"). Assim, sendo F_R a força que gera o movimento do prisma:

F_R = F_nsenθ
Ma = F_nsenθ
Ma = msenθ(gcosθ - asenθ)
Ma = mgsenθcosθ - masen²θ

Isolando a:

Ma + masen²θ = mgsenθcosθ
a(M + msen²θ) = mgsenθcosθ
a = mgsenθcosθ/(M + msen²θ)

Se surgirem quaisquer dúvidas e precisar de ajuda, basta perguntar.

Muito obrigado, Christian!

Christian, tenho algumas dúvidas:
1- Qual a direção e o sentido de F (força resultante do movimento do bloco sobre o prisma)?
2- Porque a massa considerada na força resultante (Fr) é M? A massa total não seria M+m?

1 - Horizontal, para a direita.
2 - Porque na segunda parte da resolução estamos trabalhando apenas com o movimento do prisma, não com o prisma + bloco.

Olá novamente, Christian.
Estou há muito tempo tentando entender a resposta da questão e não consigo.
Pq a força Fn surge no bloco? Pq o sentido dela é para direita, se o prisma se movimenta para esquerda?

Fn é a reação normal que o prisma exerce sobre o bloco (Lei da ação e reação de Newton).
Esta força é sempre perpendicular à superfície de separação de ambos (dai vem nome normal)

Como explicado por Élcio, F_n não é para a direita, Vinicius; é perpendicular ao lado de contato do bloco com o prisma.

Obrigado, Elcio e Christian. Na verdade, fiz uma pequena confusão, minha dúvida é em relação a força F. Desculpem!

A força F é chamada de "força de inércia"; dê uma pesquisada sobre ela, tente compreender a resolução da questão contida no tópico correspondente ao link que deixarei abaixo e, só depois de feito isso, tente compreender o procedimento realizado na questão contida no tópico em que estamos.

https://pir2.forumeiros.com/t111458-bloco-atrito-comprimento-do-trem

Se restarem dúvidas, estou a disposição para tentar ajudá-lo a resolvê-las.