(ITA) Números Complexos
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(ITA) Números Complexos
Seja Z um número complexo satisfazendo Re(z) > 0 e (z + i)² + |z' + i|² = 6, onde z' é o conjugado de Z. Se n é o menor número natural para o qual Z^n é um imaginário puro, entao n é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resposta : 2
Obrigado.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resposta : 2
Obrigado.
Ramon Araújo- Recebeu o sabre de luz
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Localização : manaus
Re: (ITA) Números Complexos
(z + i)² + |z' + i|² = 6
Fazendo z = a + bi e considerando a > 0:
(a + bi + i)² + |a - bi + i|² = 6 ----> [a + (b + 1)*i]² + |a + (1 - b)*i|² = 6 ---->
a² + 2a*(b + 1)*i + (b + 1)²*i² + a² + (1 - b)² = 6 ----> 2a² - (b + 1)² + (1 - b)² + 2a*(b + 1)*i = 6 ---->
O termo imaginário do 1º membro deve ser nulo ----> b = - 1
2a² - 0² + 2² + 0 = 6 ----> 2a² + 4 = 6 ----> a² = 1 ----> a = 1
z = 1 - i ----> |z| = \/2 ----> z = \/2*(\/2/2 - i*\/2/2) ----> z = \/2*[cos(7*pi/4) + i*sen(7*pi/4)] ----->
z^n = (\/2)^n*[cos(7*n*pi/4) + i*sen(7*n*pi/4)]
Para ser imaginário puro ----> cos(7*n*pi/4) = 0 ----> 7*n*pi/4 = k*pi + pi/2 ----> 7*n*pi/4 = 4*k*pi/4 + 2*pi/4
7*n = 4*k + 2 ----> n = (4*k + 2)/7 ----> Para k = 3 ---> n = 2
Fazendo z = a + bi e considerando a > 0:
(a + bi + i)² + |a - bi + i|² = 6 ----> [a + (b + 1)*i]² + |a + (1 - b)*i|² = 6 ---->
a² + 2a*(b + 1)*i + (b + 1)²*i² + a² + (1 - b)² = 6 ----> 2a² - (b + 1)² + (1 - b)² + 2a*(b + 1)*i = 6 ---->
O termo imaginário do 1º membro deve ser nulo ----> b = - 1
2a² - 0² + 2² + 0 = 6 ----> 2a² + 4 = 6 ----> a² = 1 ----> a = 1
z = 1 - i ----> |z| = \/2 ----> z = \/2*(\/2/2 - i*\/2/2) ----> z = \/2*[cos(7*pi/4) + i*sen(7*pi/4)] ----->
z^n = (\/2)^n*[cos(7*n*pi/4) + i*sen(7*n*pi/4)]
Para ser imaginário puro ----> cos(7*n*pi/4) = 0 ----> 7*n*pi/4 = k*pi + pi/2 ----> 7*n*pi/4 = 4*k*pi/4 + 2*pi/4
7*n = 4*k + 2 ----> n = (4*k + 2)/7 ----> Para k = 3 ---> n = 2
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: (ITA) Números Complexos
obrigado =]
Ramon Araújo- Recebeu o sabre de luz
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Idade : 32
Localização : manaus
não entendi
Por que "o termo imaginário do 1° termo dever ser nulo"?Elcioschin escreveu:(z + i)² + |z' + i|² = 6
Fazendo z = a + bi e considerando a > 0:
(a + bi + i)² + |a - bi + i|² = 6 ----> [a + (b + 1)*i]² + |a + (1 - b)*i|² = 6 ---->
a² + 2a*(b + 1)*i + (b + 1)²*i² + a² + (1 - b)² = 6 ----> 2a² - (b + 1)² + (1 - b)² + 2a*(b + 1)*i = 6 ---->
O termo imaginário do 1º membro deve ser nulo ----> b = - 1
2a² - 0² + 2² + 0 = 6 ----> 2a² + 4 = 6 ----> a² = 1 ----> a = 1
z = 1 - i ----> |z| = \/2 ----> z = \/2*(\/2/2 - i*\/2/2) ----> z = \/2*[cos(7*pi/4) + i*sen(7*pi/4)] ----->
z^n = (\/2)^n*[cos(7*n*pi/4) + i*sen(7*n*pi/4)]
Para ser imaginário puro ----> cos(7*n*pi/4) = 0 ----> 7*n*pi/4 = k*pi + pi/2 ----> 7*n*pi/4 = 4*k*pi/4 + 2*pi/4
7*n = 4*k + 2 ----> n = (4*k + 2)/7 ----> Para k = 3 ---> n = 2
akyt8lk- Iniciante
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Localização : Sorocaba, SP, BR
Re: (ITA) Números Complexos
2° membro = 6
2° membro = 6 + 0.i
o 2° membro não tem termo imaginário, vale zero.
2° membro = 6 + 0.i
o 2° membro não tem termo imaginário, vale zero.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10409
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