(ITA) - Números complexos

Olá, pessoal!!

A questão abaixo é do ITA (2011)

"Sejam n>/3 ímpar, zE C/0 e z1,z2,z3...zn as raízes de z^n=1. Calcule o número de valores l zi - zj l , j, = 1,2...,n , com i diferente de j, distintos entre si."

...Tentei fazer da seguinte maneira:
Já que as raízes n-ésimas da unidade são da forma zn= cis (2kπ /n) ; k= 1,2...n ( desconsiderando o caso em que k=0),
considerei dois números complexos , zi' = cis(2i'π /n) e zj= cis(2jπ /n) , tais que i' e j são distintos, i< j e pertencem ao conjunto ( 1,2,3...n).

Calculando zi'-zj, teremos: cis(2i'π /n) - cis(2jπ/n) = cis(2i'π /n)[ 1 - cis (2π(j-i') /n) ] = cis(2i'π /n).-2isen(π(j-i') /n)cis(π(j-i') /n) = w
w = 2sen(π(j-i') /n).cis( π(j-i') /n + 3π /2). Logo, podemos concluir que l w l = 2sen(π(j-i') /n) ...

A diferença j- i' = m ; m pertence ao conjunto { 1,2,3... (n-1)} e n pertence ao conjunto { 3,4,5....,n}....à partir daqui, como determinar quantos valores diferentes teremos para 2sen(π (j-i')/n) ??? De acordo com o gabarito, a resposta é (n-1)/2, mas, resolvendo o problema desse jeito, não consegui chegar a essa conclusão... =(

Desde já, agradeço!!

Apesar de uma expressão fechada ter sido encontrada para o módulo, não me parece que ela forneça o pedido pelo enunciado com facilidade. Por exemplo, dois pares distintos de raízes n-ésimas da unidade podem ter a mesma diferença, mas a sua expressão não mostra como saberei o número de repetições que estou contabilizando.

Eu resolveria esse problema através de uma abordagem geométrica; lembre-se de que as raízes n-ésimas da unidade descrevem um polígono de gênero n inscrito numa circunferência de raio unitário.

Observe os polígonos de gênero ímpar abaixo:



I. As distância entre os afixos, isto é, os possíveis valores de |zi - zj|, são representadas pelas diagonais do polígono.
II. O número de valores distintos de |zi - zj| será o número de diagonais com comprimentos diferentes.
III. Todos os valores diferentes de diagonais estão tanto do lado esquerdo como do direito do eixo.

No pentágono regular, partindo do ponto D as diagonais com comprimentos diferentes são DE e DA.
No heptágono regular, partindo do ponto J as diagonais com comprimentos diferentes são JK, JL e JF.

Num polígono de gênero n, o eixo de simetria cortará um ponto, deixando n - 1 disponíveis. Se n é ímpar, n-1 é par e, portanto, (n-1)/2 existe e me dá o número de pontos de um mesmo lado do eixo. Se cada ponto delimita um segmento com o ponto cortado pelo eixo, tenho (n-1)/2 diagonais ou valores de |zi - zj| diferentes.