Campo Elétrico (Ponto do Eixo Vertical)

por Mathimatiká Grecca 11/3/2016, 3:22 pm

Considere um disco horizontal carregado uniformemente com densidade superficial de cargas $\sigma$ . Calcule o campo num ponto do eixo vertical que atravessa o disco em seu centro, a uma distância D do centro.

Estou resolvendo assim:

O disco é constituído por vários elementos infinitesimais $d\beta$ . Logo, teremos uma integral ao longo de todo o disco ou seja, com limites de integração indo de 0 até a. Quanto a densidade superficial de cargas, escrevi: $dq=\sigma\,ds$ . Onde, $ds=(2\pi\beta \,d\beta )$ . Percebi que o campo é vertical pois, as componentes horizontais se cancelam.

$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\int_{0}^{a}\frac{\sigma\,2\pi\beta\,d\beta}{(\beta^2+D^2)}$

Essa integral é bem simples mas, resolvendo-a não encontro o valor que o gabarito fornece:

$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon _{0}}\left [ 1-\frac{D}{(\beta^2+D^2)^\frac{1}{2}} \right ]$

Obrigada

por **Euclides** 11/3/2016, 5:10 pm

Comece pelo campo de um anel carregado:

https://pir2.forumeiros.com/t76787-campo-eletrico-de-um-anel-carregado-calculo

${E_z=\frac{kQ z}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}}$

aqui z=D

agora basta integrar esse campo para o disco, fazendo

$Q=dq=\sigma dS\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dq=\sigma2\pi x dx$

ficando

${dE_z=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\cdot\frac{\sigma2\pi x dx z}{(z^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\;\;\;dE_z=\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\cdot\frac{x}{\left (z^2+x^2 \right )^{\frac{3}{2}}}dx$

$E_z=\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{x}{\left (z^2+x^2 \right )^{\frac{3}{2}}}dx$

por Mathimatiká Grecca 11/3/2016, 10:30 pm

De acordo com a orientação que o senhor me passou Euclides vi que estou correta até aqui:

$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\int_{0}^{a}\frac{\sigma\,2\pi\beta\,d\beta}{(\beta^2+D^2)}$

Partindo deste ponto vou postar como prossegui na resolução do exercício para ver onde possivelmente estou errando uma vez que a minha resposta não confere com o gabarito.

Chamando $u=\beta^2+D^2$

$\frac{du}{2}=\beta\,d\beta$

Quando β = 0; u = D²
Quando β = a; u = a² + D²

$E=\frac{\sigma\,D}{4\,\varepsilon _{0}}\int_{D^2}^{D^2+a^2}\frac{du}{u^{\frac{3}{2}}}$

$E=\frac{\sigma\,D}{4\,\varepsilon _{0}}(-2)\left ( \frac{1}{\sqrt{u}} \right )_{u=D^2}^{u=D^2+a^2}=\frac{-\sigma\,D}{2\varepsilon _{0}}\left ( \frac{1}{\sqrt{D^2+a^2}}-\frac{1}{D} \right )$

O que há de errado?

Obrigada

por **Euclides** 11/3/2016, 10:39 pm

O que há de errado?

apenas a sua atenção:

$\\\frac{-\sigma\,D}{2\varepsilon _{0}}\left ( \frac{1}{\sqrt{D^2+a^2}}-\frac{1}{D} \right )=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left ( 1-\frac{D}{\sqrt{D^2+a^2}} \right )$