Colégio Naval_Geometria

Num triângulo ABC, de lado AC medindo 6 cm, traça-se a ceviana AD, que divide o lado BC em segmentos BD=5 e DC=4. Se o ângulo B mede 20 graus e o ângulo C mede 85 graus, então o angulo BÂD mede:
A)65
B)55
C)75
D)45
E)35








Gab: A

 + ^B + ^C = 180º --->  + 20º + 85º =180º --->  = 75º

Seja BÂD = x ---> CÂD = Â - x ---> CÂD = 75º - x

Lei dos senos:

∆ ABC ---> AC.sen20º = AB/sensen85º ---> 6/sen20º = AB/sen85º ---> AB = 6.sen85º/sen20º

∆ BAD ---> BD/senx = AD/sen20º ---> 5/senx = AD/sen20º ---> AD = 5.sen20º/senx ---> I

∆ CAD ---> AD/sen85º = CD/sen(75º - x) ---> AD = 4.sen85º/sen(75º - x) ---> II

I = II ---> 5.sen20º/senx = 4.sen85º/sen(75º - x)

Tente agora calcular o valor de x (talvez usando prostaférese)

Raimundo,

Como dado indireto do enunciado temos o ângulo BÂC = 75° -- situação pacífica.

Foi uma grande sacada perceber a semelhança dos triângulos. Mas se
triânguloACD ~ triânguloABC -----> os ângulos CÂD = A^BC = 20°

.:. BÂD = BÂC - CÂD = 75° - 20° = 55°.

Até aqui, gabarito errado.
Na verdade esse triângulo, com as medidas e ângulos dados, NÃO FECHA. Talvez o enunciado tivesse querido dizer que BD : 5 :: DC : 4, e isto já seria outra conversa.

Vlw! Medeiros ( olho clínico) .
També acho que podem ter errado no angulo C, 75 e não 85.

Não adianta, Raimundo.
Se construirmos BC = 9, A^BC = 20°, A^CB = 85° (ou 75°, 55°, 105°,...), NÃO conseguimos ter AC = 6, porque o triângulo não fecha no vértice A.

Oi Meeiros ,
Não entendi . Quando puder me detalha. grt

Raimundo, estou dizendo que o triângulo ABC não existe com os valores "amarrados" pelo enunciado. Se o tentarmos construir, não conseguiremos fechar no vértice A.

Fiz um desenho à mão livre mas que dá boa ideia porque a deformação é tão gritante que não precisamos de precisão fina.



Partimos do fato que ∆ABC possui BC=9 e ^B=20°:
1) se AC=6 e ^C=85°, o terceiro vértice é o ponto A; mas então ^B>> 20°;
2) se AC=6, o terceiro vértice é o ponto A1 ou A3; mas então ficamos com ^C<<85° ou ^C>>85°;
3) se ^B=20° e ^C=85°, o vértice será A2 mas AC<<6.

Alterar o ângulo ^C em mais ou menos 10° ou 20° não vai resolver este problema.

A meu ver este problema se resolve se BC for muito diferente (e maior) de 9; teria que alterar o enunciado para algo do tipo: "... ceviana AD que divide o lado BC em segmentos proporcionais BD a 5 e DC a 4". Mas aí, como disse antes, isto já é outra conversa. Porém, mesmo assim, o problema original não tem a resposta do gabarito. Se Â=75°, fica visível que BÂD será menor que a metade de Â.

Obrigado.