Imparial de 2015

Imparial de 2015 = X = 1 * 3 * 5 * 9 * 11 .. *2013 *2015

Observa - se que 6 = 2 x 3, e nesse imparial, temos apenas o fator 3!

Daí: X / 6 = 1 * 5 * 7 * 9 * 11... *2013 * 2015 / 2 (Aqui, "cortamos o fator 3 em cima e embaixo")

Sabemos que o produto entre números ímpares sempre resulta em um número ímpar. 

Com isso, temos um número ímpar grande dividido por 2.

Todo número ímpar positivo inteiro dividido por 2, tem como resto 1.

Portanto, o resto será 1.

Tem gabarito?

Imparial de 2015 que chamarei de (Imp) é 3*5*7*9*11*...*2013*2015. Perceba que o número "3" aparece como fator multiplicando os demais. Chamarei de (Imp/3) o imparial de 2015 sem o fator 3, ou seja, imp/3 é 5*7*9*...*2013*2015.

note que 5*9*11*...*2015 são produtos de números ímpares, e quando eu multiplico dois números ímpares quaisquer o resultado é um número ímpar (fácil de mostrar). Ou seja (Imp/3) é ímpar, logo ele deixa resto 1 quando dividido por 2, ou seja:

2*a + 1 = 5*7*9*...*2013*2015   ,onde "a" pertence aos inteiros .      

se eu multiplicar por 3 ambos os lados da equação:

6*a + 3 = 3*5*7*9*...*2013*2015  , note que o lado direito da equação é o imparial de 2015, e o lado esquerdo diz que o resultado da divisao por 6 é "a" e deixa resto 3, que é a resposta.

Outra maneira de perceber é que os múltiplos de 3 quando divididos por 6, ou deixa resto 0 ou deixa resto 3,
3*1 = 3 (deixa resto 3 quando dividido por 6)
3*2 = 6 (deixa resto 0 quando dividido por 6)
3*3 = 9 (deixa resto 3 quando dividido por 6)
3*4 =12 (deixa resto 0 quando dividido por 6)

perceba que 3*n (com n ímpar) deixa resto 3 quando dividido por 6,
 logo 3 * (5 * 7...*2013*2015) deixará resto 3