Soma de termos ímpares e pares

Determine cinco números inteiros de uma PG, sabendo que a soma dos termos de ordem ímpar é 42 e a dos de ordem par,20.

Caso se tratasse de uma PG infinita,como seria feita a soma dos termos de ordem par e ímpar?

Spoiler:

PG ---> a, a.q, a.q², a.q³. a.q⁴

a + a.q² + a.q⁴ = 42 ---> I
a.q + a.q³ = 20 ---> II

I : II ---> (1 + q² + q⁴)/(q + q³) = 42/20 = 21/10 ---> 10.q⁴ - 21.q³ + 10.q² - 21.q + 10 = 0

Divisores inteiros positivos de 10 = 1. 2, 5

Testando descobre-se que q = 2 é raiz

II ---> a.2 + a.2³ = 20 ---> a = 2

PG ---> 2, 4, 8, 16, 32

Muito obrigada Elcio

Dany R R escreveu:Determine cinco números inteiros de uma PG, sabendo que a soma dos termos de ordem ímpar é 42 e a dos de ordem par,20.

Caso se tratasse de uma PG infinita,como seria feita a soma dos termos de ordem par e ímpar?

Spoiler:

Boa tarde, Dany.

:: x . xq . xq² . xq³ . xq⁴

x(1 + q² + q⁴) = 42
x(q + q³) = 20

Considerando, como diz o texto, que os números são inteiros, analisemos a 2ª equação:
x(q + q³) = 20

Divisores de 20:
1, 2, 4, 5, 10,20.

Analisando o conteúdo da parte entre parênteses, vem:
q=1 → 1 + 1 = 2; nesse caso, x=20/2 = 10
q=2 → 2 + 8 = 10; e agora, x = 20/10 = 2

Entretanto, se fizermos q=1, todos os cinco termos seriam iguais a 10 (inadequado).
Fazendo, porém, q=2, os termos da referida PG seriam:
:: 2 . 4 . 8 . 16 . 32

Verificação:
Soma dos de ordem ímpar = 2 + 8 + 32 = 42
Soma dos de ordem par = 4 + 16 = 20

Caso se tratasse de uma PG infinita, creio que o cálculo seria:
x = denominador da fração razão

:: 1 : 1/x : 1/x² : 1/x³ : 1/x⁴ : 1/x⁵: ...

S = 1/(1-q) = 1/(1 - 1/x) = 1/[(x-1)/x] = x/(x-1)

:: 1 ...... : 1/x² : ....... : 1/x⁴ : ..... (termos de ordem ímpar)

Si = 1/(1 - 1/x²) = 1/[(x²-1)/x²] = x²/(x²-1)

:: ... 1/x : ....... : 1/x³ : ..... : 1/x⁵ (termos de ordem par)

Sp = (1/x)/(1 - 1/x²) = (1/x)/[(x²-1)/x²] = [x²(1/x)/(x²-1)] = x/(x²-1)

Adicionando-se Si a Sp iremos obter S:
Si + SP = x²/(x²-1) + x/(x²-1) = (x²+x)/(x²-1) = x(x+1)/[(x+1)(x-1)] = x/(x-1)




Um abraço.

Boa tarde, ivomilton
Agradeço a explicação