Desafio - Triângulo

por **JoaoGabriel** Dom 14 Nov 2010, 14:55

Os lados de um triângulo têm como medidas, em centímetros, três números inteiros consecutivos, e o maior ângulo mede o dobro do menor. Determine o perímetro do triângulo.

Esta questão estava classificada em meu livro como desafio, logo não disponho de gabarito.

por **Euclides** Dom 14 Nov 2010, 15:55

Acho que será isso

$\\os\,\,lados:\,\,\,\,a,\,a+1,\,a+2\hspace{30}per\acute{i}metro:\,\,\,\,p=3a+3\\\\\frac{a+2}{sen\alpha}=\frac{a}{sen\beta}=\frac{a+1}{sen\gamma}\hspace{20}\alpha=2\beta\to sen\alpha=2sen\beta cos\beta\,\,\to\,\,\frac{a+2}{2cos\beta}=a\,\,\,\fbox{1}\\\\ {\color{blue}\gamma=180-(\alpha+\beta)\to sen\gamma=sen(\alpha+\beta)=sen3\beta}\\\\os\,\,\hat{a}ngulos\,\,s\tilde{a}o:\,\,\,\alpha=2\beta,\,\beta,\,\gamma=3\beta\\\beta+2\beta+3\beta=180\to {\color{red}\beta=30}\\\\voltando\,\,em\,\,\fbox{1}\\\\\frac{a+2}{a}=2cos30\to\frac{a+2}{a}=\sqrt{3}\to a(\sqrt{3}-1)=2\to a=\frac{2}{\sqrt{3}-1}\\\\ a=\sqrt{3}+1\,\,\,\Rightarrow p=3(\sqrt{3}+1)+3\Rightarrow {\color{red}p=3\sqrt{3}+6}$

por **luiseduardo** Dom 14 Nov 2010, 16:03

lados : x, x + 1, x+2
A > B
2B = A

----

x/sen b = (x+2)/sen a

(x+2).sen b = x.2.sen b.cos b
(x+2) = x.2.cos b
cos b = (x + 2)/2x

Agora é só usar lei dos cossenos:

x² = (x + 1)² + (x+2)² - 2*(x+1)*(x+2)*[(x + 2)]/2x
(Resolvendo)

x' = -1 ---> NÃO PODE
x'' = 4 ---> OK!

Então, os lados irão ser: 4, 5, 6

4 + 5 + 6 = 15 cm

por **luiseduardo** Dom 14 Nov 2010, 16:07

Euclides,fiquei em dúvida na parte de azul da sua resolução. Poderia me explicar ?

por **luiseduardo** Dom 14 Nov 2010, 16:11

sen y = sen (a+b) ???
Então, o y seria maior que a, não ?

Poderíamos cortar o seno e ficar assim: y = a+b ?
Assim, y > a.

sen (60) = sen (30 + 30)
60 = 30 + 30

por **Euclides** Dom 14 Nov 2010, 16:14

Eu fiz uma bobagem na manipulação dos ângulos. O luiseduardo está correto.

por **luiseduardo** Dom 14 Nov 2010, 16:20

Obrigado Euclides, bem que eu estava achando estranho algo, pois tentei continuar e o sen y tava dando assim:

sen y = ((x + 1)*sen a) / (x + 2)

sen y = (sen b) / (x - x*senb)