polinômios
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polinômios
por reginaldo cabral 6/10/2015, 10:40 pm
Determine os valores de n para os quais o polinômio p(x)= 1+x+x^2+....+x^n é divisível por q(x)= 1+x+x^2+x^3.
sugestão: observe que as parcelas dos polinômios formam progressões geométricas.
sugestão: observe que as parcelas dos polinômios formam progressões geométricas.
reginaldo cabral- Iniciante
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Re: polinômios
por Carlos Adir 6/10/2015, 10:54 pm
Podemos ver que q(x) tem raiz -1. Logo, podemos fatorar de modo:
q(x)=(x+1)(x²+1).
Podemos ver também que tem raizes i e -i. Logo:
q(x)=(x+1)(x-i)(x+i).
Agora, se p(x) é divisivel por q(x), então tem as mesmas raizes, e portanto:
p(-1)=0.
Agora, se p(-1)=0, então 1 + (-1)+(-1)²+...+(-1)^n = 0
Podemos verificar que se n for par, teremos p(-1)=1, o que não vale.
Portanto, n é impar.
De maneira análoga, temos que p(i)=0.
E então 1 + i + i² + i³ + i^4 + i^5 + i^6 + i^7 + ... + i^n = 0
Podemos verificar que se cancela somente quando n = 3, n=7, n=11, ...
Portanto, podemos escrever n = 4n-1
O que condiz com o primeiro resultado, pois indica que n é impar.
Portanto, os resultados são:
n={3, 7, 11, 15, 19, ...}
Os polinomios são:
p1(x)=1+x+x²+x³
P2(x)=1+x+x²+x³+x^4+x^5+x^6+x^7
...
q(x)=(x+1)(x²+1).
Podemos ver também que tem raizes i e -i. Logo:
q(x)=(x+1)(x-i)(x+i).
Agora, se p(x) é divisivel por q(x), então tem as mesmas raizes, e portanto:
p(-1)=0.
Agora, se p(-1)=0, então 1 + (-1)+(-1)²+...+(-1)^n = 0
Podemos verificar que se n for par, teremos p(-1)=1, o que não vale.
Portanto, n é impar.
De maneira análoga, temos que p(i)=0.
E então 1 + i + i² + i³ + i^4 + i^5 + i^6 + i^7 + ... + i^n = 0
Podemos verificar que se cancela somente quando n = 3, n=7, n=11, ...
Portanto, podemos escrever n = 4n-1
O que condiz com o primeiro resultado, pois indica que n é impar.
Portanto, os resultados são:
n={3, 7, 11, 15, 19, ...}
Os polinomios são:
p1(x)=1+x+x²+x³
P2(x)=1+x+x²+x³+x^4+x^5+x^6+x^7
...
____________________________________________
← → ↛ 
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇
ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
Carlos Adir- Monitor
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