Pontos e vetores

Boa tarde pessoal, gostaria de propor um problema que um colega me mandou:

Dado um ponto qualquer no Espaço , e quatro vetores nao colineares entre si com origem neste ponto, de modo que o angulo entre dois pares quaisquer de vetores seja igual, determine este angulo.

Gabarito: arccos(-1/3)

PS: perdoem a falta de acentuacao, estou usando um teclado americano.

Grande abraco

João Gabriel,

Os quatro vetores estão aplicados sobre o ponto P e consideremos, para simplificar, que têm módulo unitário. Desta forma, suas extremidades (A, B, C, D) ficam sobre a superfície de uma esfera de raio unitário (os próprios vetores). Se o ângulo entre dois pares quaisquer de vetores deve ser igual, então os pontos A, B, C e D devem ficar igualmente espaçados sobre a esfera. Ora, o sólido regular (inscritível, portanto) com 4 vértices é o tetraedro. E o ângulo pedido é conhecido como ângulo tetraédrico.

Conhecendo-se a relação entre a aresta do tetraedro (a) e o raio da esfera circunscrita (R), o cálculo fica imediato.



No entanto, há outras formas mais criativas de se fazer esse cálculo. Veja http://maze5.net/?page_id=367


Por fim, apenas um exemplo para aqueles que porventura estejam se perguntando se há aplicação para este conhecimento: esta é a configuração da molécula de metano, CH₄.

Excelente solucao mestre, muito obrigado!

E eu pensando em fazer produto escalar entre os 4, igualar, achar sistemas e então resolver os sistemas. Realmente bonita resolução mestre Medeiros.

Grato pelo depoimento, Carlos Adir.

De imediato também pensei em obter 4 vetores mas logo desisti ao perceber que não conhecia o ângulo (que é justamente o que se pede) para posicioná-los num sistema tri-ortonormal.

Há três outros links dentro do link que deixei. Veja no terceiro deles que há uma solução bem rápida usando as diagonais reversas de um cubo. Aí ficaria fácil obter vetores como necessitamos e podemos, inclusive, colocar o centro do cubo na origem dos eixos.