[Resolvido] Tempo do Avião com vento.

Criei o tópico para não perder a resposta. Estava digitando ela no fórum porque posso utilizar uma formatação mais "bonita" e como não há a questão no fórum ainda, aumenta o acervo e se alguém precisar, então a resposta está aqui.
Quem quiser se divertir com ela também, não é necessário calculo(ensino superior) para resolvê-la. 



A distância entre duas cidades A e B é L. Um avião faz uma viagem de ida e volta entre A e B, voando em linha reta, com velocidade V em relação ao ar. (a) Calcule o tempo total de vôo, se o vento sopra com velocidade v , numa direção que forma um ângulo θ com a direção AB. Este tempo depende do sentido em que a velocidade sopra? (b) Mostre que a viagem de ida e volta só é possível se v < V, e calcule a relação entre o tempo de vôo t_ǁ quando o vento sopra na direção AB e o tempo t_┴ quando sopra na direção perpendicular (este resultado é relevante na discussão da experiência de Michelson e Morley); (c) Mostre que, qualquer que seja sua direção, o vento sempre prolonga a duração da viagem de ida e volta.

Podemos então responder:

Construindo a imagem:



Temos que o avião voa com um ângulo α em relação ao eixo AB em sentido contrário ao vento. Isto porque se α=0, teremos que o avião não alcançará B, mas sim um ponto acima visto que a velocidade do vento influencia na componente vertical do avião. Portanto, temos os vetores:



Adotando o referencial de que o segmento AB esteja coincidindo com o eixo X, e que o sentido AB seja positivo, então teremos que adotando como na figura, a componente vertical será zero:



Assim, calculando a componente horizontal de w substituindo os valores de alpha obtemos:



Assim, podemos calcular o tempo de ida:



De modo análogo, mas invertendo a componente horizontal de v teremos o tempo de volta e consequentemente somando com o tempo de ida teremos o tempo total:



Apartir daqui, podemos "simplificar" um pouco mais:



Já para a letra b:

Podemos perceber que é necessário que v² - u² > 0 pois:
1°) Não existe tempo negativo. E como a raiz é negativa, o denominador é necessariamente positivo, o que implica que v > u.
2°) O valor dentro da raiz é positivo, isto porque se o vento soprar perpendicularmente, então teremos o valor de seno no máximo e então v² - u² . 1 > 0 ---> v > u

Então podemos calcular a razão entre as velocidades:



Disto podemos concluir que a razão é maior que 1, pois:
0 < u²/v² < 1
0 < 1-(u²/v²) < 1
0 < √[1-(u²/v²)] < 1
1 < 1/√[1-(u²/v²)]
Assim, quando soprar paralelamente demorará mais tempo que quando soprar perpendicularmente. 
Podemos derivar a expressão do tempo em relação ao ângulo, igualar a zero e achar o valor mínimo e máximo do tempo.
Mas ao fazermos isso perceberemos também que o menor valor será quando o valor de seno for o máximo, ou seja quando soprar perpendicularmente. E como seno ao quadrado é sempre positivo(ou nulo), então o máximo do tempo ocorre quando seno é o menor possível, ou seja, zero. Neste caso indica que o vento sopra paralelamente à direção AB.

Para a letra c, pegamos a razão entre a velocidade com vento e sem vento:




Gabarito:




Questão 30 retirada do capítulo 3 do livro do H. Moysés Nussenzveig. 1 Mecânica Curso de Física Básica.
Nussenzveig, H. M. Curso de Física Básica – 1 Mecânica, 4a edição. Edgar Blücher, São Paulo, 2002


Física Básica não sei pra quem kk

Carlos Adir escreveu:Física Básica não sei pra quem kk

O Moysés Nussenzveig é considerado um bom autor de livros de física para o nível universitário.

Sim, minha afirmação ficou ambigua. O nome fala física básica, mas é um livro bem difícil. Ai o "básica não sei pra quem" foi referindo que na verdade é física avançada.