semi-circunferências no quadrado

Sejam

A = vértice inferior direito, B = vértice superior direito, C vértice superior esquerdo e D = vértice inferior esquerdo,
C1, C2, C3 ..... os centros dos semi-círculos em ordem decrescente dos raios
r1, r2, r3 .... os raios dos círculos na mesma ordem
E, F, G .... os pontos de contato, entre B e C, dos semi-círculos, na mesma ordem
M, N, P ...... os pontos de tangência dos semi-círculos de raios r1, r2, r3 .... com o quadrante de raio R

Pela figura:
C1C = C1E = r1
BC1 = BC - C1C ----> BC1 = R - r1

Traçando AC1 temos: (AC1)² = (BC1)² + AB² ----> (R + r1)² = (R - r1)² + R² ----> r1 = R/4 ----> r1 = (R/2)/1*2

C2C = CE + C2E ----> C2C = 2r1 + r2 ----> C2C = R/2 + r2
BC2 = BC - C2C ----> BC2 = R - (r/2 + R2) ----> B2C = R/2 - r2

Traçando AC2 temos: (AC2)² = (BC2)² + AB² ---> (R + r2)² = (R/2 - r2)² + R² ---> r2 = R/12 ---> r2 = (R/2)/2*3

Para o próximo, de modo similar chegaríamos a r3 = R/24 ----> r3 = (R/2)/3*4

Logo -----> rn = (R/2)/n*(n + 1) ----> rn = R/2n*(n + 1)