ITA 95 - Complexos

Seja z ∈ C tal que Re(z) > 0 e (z + i)² + |z* + i|² = 6. Se n é o menor natural para o qual zⁿ é um imaginário puro, então n é igual a? 

a)1      b) 2       c) 3         d) 4           e)5



OBS. z* = conjugado de z.


Grato.

Olá, Aeron945.

Seja z = a+bi. Temos:

(a + i*(b+1))² + |a + i*(1-b)|² = 6 .:. a² + 2i*a*(b+1) -(b+1)² + (a² + (1-b)²) = 6 .:.
(a² - b² - 2b - 1 + a² + 1 - 2b + b²) + 2i*(ab+a) = 6 .:. (2a²-4b) + 2i*(ab+a) = 6

Por igualdade entre as partes reais e imaginárias:

ab+a = 0 .:. a*(b+1) = 0 <--> a = 0 ou b = -1. Como o enunciado fala que Re(z) > 0, ficamos com b = -1 e portanto:

2a² - 4*(-1) = 6 .:. 2a² + 4 = 6 .:. a = 1.

Logo, z = 1 - i .:. z = (√2) * [ (√2)/2 + i*(√2)/2] .:. z = (√2)*[ cos(∏/4) + i*sen(∏/4)]

Da Primeira Lei de Moivre, para z^n ser imaginário puro devemos ter cos[(n*∏)/4] = 0 .:. cos[(n*∏)/4] = cos[(k*∏)/2]. Como queremos o menor valor possível de n, ficamos com k = 1 <--> n = 2.

Att.,
Pedro

Muito obrigado, Pedro