CompleXos

por marcioamorim Qui 16 maio 2013, 15:06

Represente no plano de Argand-Gauss o L.G das imagens dos números complexos z tais que :

$z\times \bar{z}-|z|+1=0$
Gab : circunferência de raio 2 partindo da origem , ou seja , x² +y²=4

Fiz assim :

z.z* - |z| = 1
sendo z.z*=|z|²

tem que |z|²- |z| -1 = 0
|z|=k

k² - k +1=0
/\=1 - 4=>-3 =>3i²
k= 1/2 +- iV3/2

|z|= V(1/2)²+3/4 => V 4/4 => 1

|z|=1
logo
x² + y²=1 ( circunferencia de raio 1)

Onde eu errei ? Obrigado !!

por Luck Qui 16 maio 2013, 15:54

Seu erro está aqui "k = |z|= V(1/2)²+3/4 " , o |z| é o k que vc chamou inicialmente e nao a raiz da soma dos quadrados: |z| = 1/2 +- iV3/2 ,sendo |z| = √(x² + y²) , entao ficaria:
√(x²+y²) = (1/2) +- iV3/2
por isso parece ter algo errado nessa expressão pois o |z| devia dar um número real.. além disso o gabarito nao confere:
se x² + y² = 4 , entao |z|² = 4 , |z| = 2, substituindo temos:
4 -2 - 1 = 0 , 1 = 0

por marcioamorim Qui 16 maio 2013, 16:52

Quanto você achou ?

por Luck Qui 16 maio 2013, 16:57

marcioamorim escreveu:Quanto você achou ?

como eu disse, o módulo do complexo deve dar um número real, se a equação for essa mesmo nao existe solução.

por marcioamorim Qui 16 maio 2013, 17:02

Mas , se |z|= 2 é igual a um número real , visto que , 2 é um número real .

O problema é igual você disse , ao substituir na equação vai dar 1=0 , curioso isso .

p.s : copiei o enunciado do livro e o gabarito do livro .

por Luck Qui 16 maio 2013, 17:15

marcioamorim escreveu:Mas , se |z|= 2 é igual a um número real , visto que , 2 é um número real .

O problema é igual você disse , ao substituir na equação vai dar 1=0 , curioso isso .

p.s : copiei o enunciado do livro e o gabarito do livro .

partindo da hipótese que o gabarito está correto, entao podemos substituir na equação, ja que |z| = √(x² + y²) , o que levaria em 1 = 0 (absurdo!) ,logo o gabarito está errado ou a expressão está errada.
resolvendo o exercício sem notar o gabarito vc mesmo chegou em |z| = 1/2 +- iV3/2 , o que também é absurdo, |z| é sempre real, ja que x e y são reais. Por isso nao existe solução,creio que pode ter sido erro do livro, ou uma questão que foi anulada se foi tirada de alguma prova...

por marcioamorim Qui 16 maio 2013, 17:30

Mas , se |z|= 2 , ele não é real ?

por Luck Qui 16 maio 2013, 18:02

marcioamorim escreveu:Mas , se |z|= 2 , ele não é real ?

Marcio, |z| = 2 é real sim, mas como ja te disse duas vezes se for isso chega em um absurdo (leia novamente meu segundo post) , entao |z| nao pode ser 2, nao existe solução para essa equação..

por Luck Qui 16 maio 2013, 18:20

Se a equação fosse: z.z* - |z| - 1 = 0 , daí teríamos:
|z|² - |z| - 1 = 0
|z| = (1 - √5)/2 (nao serve) ou |z| = (1+√5)/2
entao √(x²+y²) = (1+√5)/2
x² + y² = [(1+√5)/2]² , que é uma circunferência de centro na origem e raio R= (1+√5)/2