trigonometria

por michelle_kaoru Qua 19 Ago - 20:27

A resposta da questão é zero, mas eu não entendi o por quê. Dadas as condições de existência do logaritmo, senx não deveria ser maior que zero? Porque aí somente faria parte da solução 90º e -270º... Enfim, a questão é a seguinte:
Determine a soma das raízes de trigonometria TWvYe9KD8RsAAAAASUVORK5CYII=

trigonometria TWvYe9KD8RsAAAAASUVORK5CYII=

, contidas no intervalo trigonometria GmEIuHTwIMZQhyIAAA7

.

por **Carlos Adir** Qua 19 Ago - 20:40

$\\ \mathrm{\log_2 (sen \ x) - \log_2\left(cos \ x + sen \ x \right )=0} \\ \mathrm{\log_2\left(sen \ x \right )=\log_2\left(cos \ x + sen \ x \right )} \\ \mathrm{sen \ x = cos \ x + sen \ x} \\ \mathrm{0 = cos \ x \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi; \ k \in \mathbb{Z}}$
Ou seja, para isso basta apenas que o valor do cosseno seja zero.
Assim, queremos os valores das somas das raizes. Mas primeiro, vamos achar as raizes:
$\\ \mathrm{k=-3 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}-3\pi = \dfrac{-5\pi}{2} < -2\pi \Rightarrow N\~ao \ vale} \\ \mathrm{k=-2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}-2 \pi = \dfrac{-3\pi}{2} \Rightarrow Vale} \\ \mathrm{k=-1 \Rightarrow x = \dfrac{-\pi}{2} \Rightarrow Vale} \\ \mathrm{k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow Vale} \\ \mathrm{k=1 \Rightarrow x= \dfrac{3\pi}{2} \Rightarrow Vale} \\ \mathrm{k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{2} > 2 \pi \Rightarrow \ N\~ao \ vale} \\ \therefore \mathrm{ x = \left\{\dfrac{-3\pi}{2}; \ \dfrac{-\pi}{2}; \ \dfrac{\pi}{2}; \ \dfrac{3\pi}{2} \right \}}$

EDIT:
Contudo, esses são valores onde cosseno vale zero. Mas devemos analisar também a condição de existência, isto é, sen x > 0.
Logo, descartamos da nossa solução 2 valores:
$\mathrm{\dfrac{-\pi}{2} \ \ e \ \ \dfrac{3\pi}{2}}$
Pois nesses dois casos teremos então que sen x < 0.

Outra condição de existência é sen x + cos x > 0. Há várias maneiras de fazer isso, uma delas é fazendo:

$\\ \mathrm{sen \ x + cos \ x > 0} \\ \mathrm{\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot sen \ x + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot cos \ x > 0} \\ \mathrm{cos \ \dfrac{\pi}{4} \cdot sen \ x + sen \ \dfrac{\pi}{4} \cdot cos \ x > 0} \\ \mathrm{sen \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right ) > 0} \\ \mathrm{\Rightarrow x \in \left]-2\pi, \ \dfrac{-5\pi}{4} \right[ \cup \left]\dfrac{-\pi}{4}, \ \dfrac{3\pi}{4} \right [ \cup \left]\dfrac{7\pi}{4}, \ 2\pi \right [}$

Então, ficamos com a solução:
$\mathrm{x = \left\{\dfrac{-3 \pi}{2}; \ \dfrac{\pi}{2} \right \}}$

E então a soma das soluções será:
$\mathrm{S = \dfrac{-3 \pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} = - \pi }$

por **Elcioschin** Qui 20 Ago - 0:15

Carlos

Faltou verificar as condições de existência, por exemplo:

senx > 0 ---> 0 < x < pi ---> Não valem as soluções x = -pi/2 e x = 3.pi/2 (para ambas senx = - 1)

senx + cosx > 0 ---> Falta checar outras raízes

por **Carlos Adir** Qui 20 Ago - 20:30

Correto Mestre Elcio, não me atentei a isso. Pensei em fazer isso no inicio, deixei para depois que achasse as resoluções e então esqueci disso no final.
Agora foi corrigido, obrigado.

por **Elcioschin** Sex 21 Ago - 9:20

Carlos

Cansei de esquecer disso em minhas soluções (e esqueço ainda hoje). Preciso me policiar para não esquecer.
O importante é o desenvolvimento da solução, a exemplo dos belos desenvolvimentos que você tem apresentado no fórum (o mostrado acima, inclusive)

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