(Prova ACTs-2010) Geometria

Olá Paulo. Eu acredito haver algo errado com a questão, pois a única afirmativa correta é a IV. Vejamos o porquê:

I - Sendo o ortocentro o ponto que marca o encontro das alturas dos triângulos e tendo em vista que este é um triângulo retângulo, evidentemente o ortocentro está localizado no vértice do ângulo reto. Afirmativa falsa.

II - O baricentro de um triângulo é o encontro de suas medianas. Analiticamente:



Vemos que o baricentro é ponto (8/3 , 8/3). Afirmativa falsa.

III - Bom, evidentemente a reta AC é y = 2x. Para que a reta supracitada fosse paralela à essa última, seu coeficiente angular deveria ser 2 e ela deveria passar pelo vértice B. Ela satisfaz a última condição, mas não a primeira. Afirmativa falsa.

IV - Um triângulo retângulo inscrito numa circunferência tem sua hipotenusa como diâmetro desta, logo basta sabermos quanto vale a hipotenusa (e também seu ponto médio) para demonstrarmos o que se afirma.

Pelo teorema de pitágoras:



O ponto médio de AC será, portanto, o centro da circunferência. Logo:



Agora vamos arrumar a equação da circunferência:







Notamos que é exatamente a circunferência que queríamos. Alternativa verdadeira.

Hola DouglasM.

Concordo plenamente com vc, pois também havia resolvido dessa forma, exceto para a afirmação IV.

Se os pontos do triângulo estão sobre a circunferência, então eles devem pertencer a mesma.
x² + y² - 4x - 8y = 0

x² - 4x + y² - 8y = 0, para o ponto: (0,0), temos:
0² - 4*0 + 0² - 8*0 = 0
0 = 0, esse ponto está sobre a circunferência.

x² - 4x + y² - 8y = 0, para o ponto: (4,0), temos:
4² + 0² - 4*4 - 8*0 = 0
16 - 16 = 0
0 = 0, esse ponto está sobre a circunferência.

x² - 4x + y² - 8y = 0, para o ponto: (4,8), temos
4² - 4*4 + 8² - 8*8 = 0
16 - 16 + 64 + 64 = 0
0 = 0, esse ponto está sobre a circunferência.

Não sei se é válida essa forma de fazer.

Sim, é perfeitamente válida. Três pontos numa circunferência formam um triângulo circunscrito por ela, nesse caso o triângulo pedido.