Geometria Plana

por ALDRIN Seg 25 Out 2010, 19:21

Na figura, $ABCD$ é um quadrado e $AEF$ é um triângulo equilátero. Sendo $P$ o centro da circunferência inscrita no quadrado e $Q$ o centro da circunferência inscrita no triângulo, calcule, em milímetros, a distância $PQ$ dado que $AB=(2\sqrt6+3\sqrt2)\ cm$ .

Geometria Plana Figura

Spoiler:

por **Elcioschin** Ter 26 Out 2010, 13:48

Considere um sistema cartesiano com origem no vértice C e eixo x contenco CFD.

Seja a = AB = 2*\/6 + 3*\/2

As coordenadas dos diversos pontos são: C(0, 0), D(a, 0), A(a, a), B(0, a), P(a/2, a/2)

FÂE = 60º ----> Por simetria ----> BÂE = DÂF = 15º ----> cos15º = (\/6 + \/2)/4

Seja L o lado do triângulo equilátero ----> AE*cosBÂF = AB ----> L*cos15º = a ---> Calcule L

Seja H o ponto médio de EF ----> AH = AF*cosFÂH ----> AH = L*cos30º -----> Calcule AH

AQ = (2/3)*AH -----> Calcule AQ

Seja Q' a projeção perpendicular de Q sobre sobre AD ----> AQ' = AQ*cos45º ---> Calcule AQ'

Q'D = xA - AQ' ----> Q'D = a - AQ' ---> Calcule Q'D -----> Q'D é a ordenada yQ do ponto Q

De modo similar, abcissa xQ do ponto Q ----> xQ = yQ

Temos agora Q(xQ, yQ) e P(a/2, a/2) -----> PQ² = (xQ - a/2)² + (yQ - a/2)² ----> Calcule PQ

Deixo as contas contigo.

por ALDRIN Ter 26 Out 2010, 16:04

Hoje eu consegui resolver por Geometria Plana, mas deu muito trabalho:

Geometria Plana Figurav

Considerando as medidas em $cm$ e $L$ o lado do triângulo equilátero, temos:

$AB=2\sqrt6+3\sqrt2$

$D=(2\sqrt6+3\sqrt2)\sqrt2$ (diagonal do Quadrado)

$sen75^\circ=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$

$sen75^\circ=\frac{2\sqrt6+3\sqrt2}{L}$

$\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}=\frac{2\sqrt6+3\sqrt2}{L}$

$L=\frac{4(2\sqrt6+3\sqrt2)}{\sqrt6+\sqrt2}$

$\frac{D}{2}=PQ+AQ$

$\frac{(2\sqrt6+3\sqrt2)\sqrt2}{2}=PQ+AQ$

$PQ=\frac{(2\sqrt6+3\sqrt2)\sqrt2}{2}-\frac{2}{3}.\frac{L\sqrt3}{2}$

$PQ=\frac{(2\sqrt6+3\sqrt2)\sqrt2}{2}-\frac{2}{3}.\frac{\sqrt3}{2}.\frac{4(2\sqrt6+3\sqrt2)}{\sqrt6+\sqrt2}$

$PQ=\frac{(2\sqrt6+3\sqrt2)\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{3}.\frac{4(2\sqrt6+3\sqrt2)}{\sqrt6+\sqrt2}$

$PQ=\frac{2\sqrt{12}+3.2}{2}-\frac{\sqrt3}{3}.\frac{4(2\sqrt6+3\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)}{4}$

$PQ=2\sqrt3+3-[\frac{\sqrt3}{3}.(2\sqrt6+3\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)]$

$PQ=2\sqrt3+3-[\frac{\sqrt3}{3}.(2.6-2\sqrt{12}+3\sqrt{12}-3.2)]$

$PQ=2\sqrt3+3-[\frac{\sqrt3}{3}.(12+\sqrt{12}-6)]$

$PQ=2\sqrt3+3-[\frac{\sqrt3}{3}.(6+2\sqrt3)]$

$PQ=2\sqrt3+3-[2\sqrt3+2]$

$PQ=2\sqrt3+3-2\sqrt3-2$

$PQ=1\ cm=10\ mm$

por **Adam Zunoeta** Ter 26 Out 2010, 18:28

Legal essa questão.
Very Happy

por **Elcioschin** Ter 26 Out 2010, 18:30

Aldrin

Eu sabia que seria muito trabalhoso (tanto que deixei as contas para você fazer: ahahahah).

Note que o seu método por Geometria Plana é bastante similar ao meu por Geometria Analítica.

Eu também usei o ângulo de 15º e demais cálculos seus. A única diferença foi o o final, quanto ao modo de calcular PQ.

por **Adam Zunoeta** Qua 27 Out 2010, 14:29

Aldrin
Que livro(s) você usa pra estudar geometria?
E de onde você tira esses exercícios (interessantes)?

por ALDRIN Qui 28 Out 2010, 16:42

Comecei com xerox de várias apostilas de cursinhos preparatórios para exames de admissões para ingresso em carreira militar, principalmente os do Rio de Janeiro.

Depois consegui comprar o Fundamentos de Matemática Elementar - Volume 9.

Consegui o download dos livros do Professor Morgado (muito bons).

Aqui em Brasília tenho algumas apostilas dos principais cursos Pré-Vestibular, (obs.: não posso citar quais, pois estaria fazendo propaganda, hehe), de onde tiro as atuais questões enviadas.

E tenho também vários livros de Matemática.

Agora só falta estudar e ficar "Fera" igual ao nosso Grande Mestre Elcioschin e outros aqui do Fórum, hehe.

Abraço.

Selva!

por **Elcioschin** Qui 28 Out 2010, 17:39

Aldrin

É tudo questão de dedicação e TEMPO.

Só como curiosidade, o Morgado foi meu professor de Geometria Analítica 3D em 1965/1966, quando eu cursava Engenharia Elétrica. É uma sumidade!

Foi dele a idéia de incluir, no meu vestibular, a seguinte questão:

Dado um heptágono regular ABCDEFGA, provar que 1/AB = 1/AC + 1/AD.

Nenhum dos participantes do vestibular conseguiu resolvê-lo. Tente!!!!

Veja portanto, a questão TEMPO!!!!

Um abraço