(UFCE) Seja f uma função real de variável rea

(UFCE) Seja f    uma    função    real    de    variável    real    cujo    gráfico    está representado a seguir. Se g(x) = 2.f(x) – 1, assinale a    alternativa    cujo    gráfico    MELHOR representa |g(x)|.

gABARITO E

Nesse tipo de questão podemos pensar na nova função dada por partes, de maneira bem gráfica:

1) g(x)'= 2f(x)
A função g é igual a duas vezes a função f, então sua imagem é duas vezes a imagem de f.
Por exemplo:
Se f(x) = x e g(x)= 2f(x)= 2x, para x=3 --> f(x) =3 e g(x)=6 (a imagem de x pela função g é o dobro da imagem de x por f)
Como a função f tem imagem igual a [-1;1], a função g terá imagem [-2;2].

2)g(x) = 2f(x)-1
Subtrair um número n de uma função significa transladá-la n números ao longo eixo y, conforme o sinal deste número.

Se f(x) = x e g(x)=f(x)-1= x-1, para qualquer número x, você nota que o valor da imagem de x pela função g é uma unidade a menos que na função f, ou seja, toda sua imagem fica uma unidade transladada para baixo.
A imagem de g(x) agora fica [-3;1]

3) O módulo de qualquer função fará com que o valor de sua imagem seja positiva. "Rebatendo" toda a parte da função pelo eixo y negativo para cima, de modo que nenhuma imagem fique negativa!
Então a parte da função g(x) que "termina" no ponto de ordenada -3 "vai para cima" e o mesmo número, positivo, é contemplado no semi-eixo y positivo.

Obrigado Smasher

pessoal, eu resolvi a questão e cheguei exatamente na mesma linha de raciocínio, chegando na letra e).
analisando as alternativas e fazendo as eliminações, a única, realmente possível, é a letra e) mesmo.
minha dúvida é: há como chegarmos na função g(x), isto é, na sua representação em forma de função do 1º grau ? pois no gráfico ele dá os valores de x e seus correspondentes y, porém, se não os houvessem, como eu faria pra determinar a função g(x) ?
desculpe se é meio óbvio, mas não estou conseguindo enxergar.

Sim, é possível. Basta calcular as equações das duas retas de f(x)

a) Para x ≤ 2 ---> f(x) = - x + 1

g(x) = 2.f(x) - 1 ---> g(x) = 2.(- x + 1) - 1 ---> g(x) = - 2.x + 1

b) Para x ≥ 2 ---> f(x) = x - 3

g(x) = 2.f(x) - 1 ---> g(x) = 2.(x - 3) - 1 ---> g(x) = - 2.x - 7

Muito obrigado, Mestre!!!!!