(UFV MG/2010/Janeiro) Um retângulo tem três d

(UFV MG/2010/Janeiro) Um retângulo tem três de seus vértices nos pontos ( 0, 0 );
( x, 0 ) e ( 0, y ) , sendo x e y positivos, e o quarto vértice encontra-se sobre a reta
2x + 3y = 6. Nessas condições, o retângulo de área máxima tem perímetro com medida igual a:

a)4
b)6
c)5
d)7

Agradeço desde já!!

- trace a reta dada 2x + 3y = 6 -> 3y = - 2x + 6 -> y = ( - 2/3 )x + 2

- plote o ponto A( 0, 0 )

- plote os pontos abaixo da reta -> B( x, 0 ) e C( 0, y )

- plote o wértica D( x, y )obre a reta

- como D( x, y ) pertence à reta então -> y = ( - 2/3 )*x + 2


- a área do retângulo é dada por:

S = x*y = x*( ( - 2/3 )*x + 2 ) = - ( 2/3 )*x² + 2x

parábola com concavidade  woltada para baixo ( possui máximo )

( - 2/3 )*x² + 2x = 0

x*[ ( - 2/3 )*x + 2 ] = 0

x = 0 ou x = 3

o wértice da parábola se dará para x = 3/2

- para x = 3/2 teremos y = ( - 2/3 )*( 3/2 ) + 2 = 1

- perímetro -> 2p = 2*1 + 2*(3/2) = 5

Para x = 0 --->  2.0 + 3.y = 6 ---> y = 2 ---> P(0, 2)

Para y = 0 ---> 2.x + 3.0 = 6 ---> x = 3 ---> Q(3, 0)

Muito obrigado, mestre Elcio!