Questão de Rotações

Seja C uma curva fechada orientada. A área orientada S associada a C é definida como um vetor perpendicular ao plano de C, de magnitude igual à área S contida dentro de C e sentido tal que, vista da extremidade de S, C é descrita em sentido anti-horário.
a) Interprete a x b em termos de S. 
B) Demonstre que, se orientarmos os contornos de quatro faces de um tetraedro de tal forma que o sentido de S para cada face seja sempre o da normal externa (apontando para fora do tetraedo), a resultando das áreas orientadas associadas às quatro faces é nula. 

Obrigado a quem responder.

Considerando $OP=\vec{a}$ a vetor posição de um ponto $P$ na curva e $\vec{b}$  seu deslocamento,  teríamos, como $\vec{S}$ é perpendicular ao plano C, que:
\begin{eqnarray}
\vec{k}|\vec{a}X\vec{b}|=\vec{a}X\vec{b}
\end{eqnarray}
Onde $\vec{k}$ é um vetor unitário e paralelo a $\vec{S}$, ou seja, normal ao plano C. 

Teremos que o módulo de $\vec{S}$ corresponderá a área varrida no deslocamento, ou seja, será a metade da área do paralelogramo formado pelos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, assim:

\begin{eqnarray*}
S=\frac{1}{2}|\vec{a}X\vec{b}|
\end{eqnarray*} 
Aplicando na primeira equação teremos
\begin{eqnarray}
\therefore \vec{k}2S=\vec{a}X\vec{b}
\end{eqnarray}

(B) Como $\vec{S}$ é um vetor axial de um produto vetorial, seu sentido está ligado, por convenção, a rotação do primeiro vetor multiplicador em relação ao segundo, ou seja: um observador com a extremidade do produto vetorial em seu rosto imaginando o primeiro termo vetorial girando no sentido do segundo, veria uma rotação anti-horária. Logo, mudando o sentido dos termos vetoriais multiplicadores, inverteríamos o sentido de sua rotação e, por consequência, a direção de seu produto vetorial. 

Com isso em mente, devemos orientar cada extremidade de forma a anular a outra, ou seja. Teremos então: 
\begin{eqnarray*}
\vec{S}_1=\frac{1}{2}\vec{a}X\vec{b}=\vec{S}\\
\vec{S}_2=\frac{1}{2}[-\vec{a}X(-\vec{b})]=\vec{S}\\
\vec{S}_3=\frac{1}{2}(-\vec{a}X\vec{b})=-\vec{S}\\
\vec{S}_4=\frac{1}{2}\vec{a}X(-\vec{b})=-\vec{S}\\
\therefore \sum_{i}^{4}\vec{S}_i=\vec{0}
\end{eqnarray*}

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