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Círculos e Segmentos

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Mensagem por xSoloDrop Sex 17 Jul 2015, 19:49

Os círculos w1 w2 se interceptam nos pontos A e B. O segmento PQ é tangente à wem P, e tangente à wem Q, e ponto A está mais perto de PQ do que B. O ponto X está em w1, tal que PX é paralelo a QB, e o ponto Y está em w2, tal que QY é paralelo a PB.
Considerando ∠APQ=30º e ∠PQA=15º, calcule a razão AX/AY.

Questão Original+Gabarito:

Círculos e Segmentos Art_142
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Mensagem por Carlos Adir Seg 20 Jul 2015, 11:42

Eu percebi um erro, a imagem mostra que o segmento PQ é secante à circunferência w_1, o que não ocorre.
Construi a imagem, e abaixo se segue:
Círculos e Segmentos WBTYwm4
A maneira que construi segue abaixo:
Spoiler:
Verifiquei pelo geogebra, e realmente o gabarito está correto.
Contudo, não sei resolver essa questão :/
Acho que o mestre Medeiros consiga Very Happy

Acho que uma grande sacada, é perceber achar o ângulo XYA. Teremos então a relação:

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
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Mensagem por Medeiros Ter 21 Jul 2015, 04:04

Carlos Adir, o elogio é grande e seu desenho ficou muito bom mas esta questão está além da minha capacidade. Em todo o caso, vou tentar adiantar alguma coisa.
r = reta base (a horizontal)
w1 -----> r1
w2 -----> r2
Lembrando que PO1 e QO2 são perpendiculares a r.

∠QPA é ângulo de segmento em w1, portanto o ângulo central vale 60° e PA é lado do hexágono inscrito. Assim, XA é duas vezes a altura de um triângulo equilátero de lado r1 -----> XA = 2.r1.√3/2 -----> XA = r1.√3

∠PQA, idem ref. a w2, portanto o ângulo central vale 30° e QA é lado do dodecágono inscrito. Assim, YA é corda de um arco de 120° em w2, ou seja, vale o dobro da altura de um triângulo equilátero de lado r2 -----> YA = r2.√3

Até aqui, temos XA/YA = r1/r2
Agora é tentar obter uma relação entre r1 e r2. Talvez, conseguir a medida do segmento PQ e trabalhar sobre o triângulo PQA. Lembrando que:
PA = r1 = lado do hexágono.
QA = lado do dodecágono.
QA² =(r2)². (2 - √3)
QA = r2.(√3 -1)/√2 = r2.(√6 - √2)/2
ou então, como você mesmo sugeriu, conseguir provar que o ∠XYA=15° (que de fato é), pois temos que ∠XAY=90° e a tg15°=(2 - √3)

Abs.
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Mensagem por raimundo pereira Qui 23 Jul 2015, 14:16

ET: Gostaria que o nosso clg xsolodrop postasse a resol. quando a tiver.


Última edição por raimundo pereira em Qui 23 Jul 2015, 17:28, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Carlos Adir Qui 23 Jul 2015, 17:18

Se ajudar alguma coisa:
Círculos e Segmentos BcSluGO
Não vejo de onde concluir que XAH ~ XAY.
Abaixo o link da imagem pelo geogebra:
Questão Geometria

____________________________________________
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∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
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Mensagem por raimundo pereira Qui 23 Jul 2015, 17:32

Perfeito Carlos . Viajei nessa. Já apaguei. Com esse desenho as coisas ficaram mais claro.


Última edição por raimundo pereira em Qui 23 Jul 2015, 18:22, editado 1 vez(es)
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Mensagem por raimundo pereira Qui 23 Jul 2015, 18:04

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