Círculos e Segmentos
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Círculos e Segmentos
Os círculos w1 e w2 se interceptam nos pontos A e B. O segmento PQ é tangente à w1 em P, e tangente à w2 em Q, e ponto A está mais perto de PQ do que B. O ponto X está em w1, tal que PX é paralelo a QB, e o ponto Y está em w2, tal que QY é paralelo a PB.
Considerando ∠APQ=30º e ∠PQA=15º, calcule a razão AX/AY.
Considerando ∠APQ=30º e ∠PQA=15º, calcule a razão AX/AY.
- Questão Original+Gabarito:
xSoloDrop- Fera
- Mensagens : 492
Data de inscrição : 23/03/2015
Idade : 26
Localização : Araçatuba SP
Re: Círculos e Segmentos
Eu percebi um erro, a imagem mostra que o segmento PQ é secante à circunferência w_1, o que não ocorre.
Construi a imagem, e abaixo se segue:
A maneira que construi segue abaixo:
Contudo, não sei resolver essa questão :/
Acho que o mestre Medeiros consiga
Acho que uma grande sacada, é perceber achar o ângulo XYA. Teremos então a relação:
Construi a imagem, e abaixo se segue:
A maneira que construi segue abaixo:
- Spoiler:
- 1°) Desenhe uma reta base
2°) Marque dois pontos sobre a reta, e tomando um ponto como base(este será o ponto Q), então faça um ângulo de 15°
3°) Marque, sobre a nova reta de 15°, um ponto A.
4°) No ponto A, faça 135° com a reta que contém o ponto A.
5°) A intersecção da primeira e terceira reta será o ponto P.
6°) Trace duas perpendiculares à primeira reta, uma passando pelo ponto P e outra por Q. Chamemos as retas ┴P e ┴Q
7°) Peque o ponto médio de A e P, e de A e Q. Sendo M = medio(AP), N= medio(AQ)
8°) Trace perperpendiculares ┴M e ┴N
9°) A intersecção das retas ┴M, ┴P e ┴N, ┴Q, serão os centros das duas circunferências
10°) Trace as circunferências
11°) Marque o ponto B
12°) Trace as retas PB e PQ
13°) Marque as paralelas, conforme o enunciado
Contudo, não sei resolver essa questão :/
Acho que o mestre Medeiros consiga
Acho que uma grande sacada, é perceber achar o ângulo XYA. Teremos então a relação:
____________________________________________
← → ↛ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇
ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
Carlos Adir- Monitor
- Mensagens : 2820
Data de inscrição : 27/08/2014
Idade : 28
Localização : Gurupi - TO - Brasil
Re: Círculos e Segmentos
Carlos Adir, o elogio é grande e seu desenho ficou muito bom mas esta questão está além da minha capacidade. Em todo o caso, vou tentar adiantar alguma coisa.
r = reta base (a horizontal)
w1 -----> r1
w2 -----> r2
Lembrando que PO1 e QO2 são perpendiculares a r.
∠QPA é ângulo de segmento em w1, portanto o ângulo central vale 60° e PA é lado do hexágono inscrito. Assim, XA é duas vezes a altura de um triângulo equilátero de lado r1 -----> XA = 2.r1.√3/2 -----> XA = r1.√3
∠PQA, idem ref. a w2, portanto o ângulo central vale 30° e QA é lado do dodecágono inscrito. Assim, YA é corda de um arco de 120° em w2, ou seja, vale o dobro da altura de um triângulo equilátero de lado r2 -----> YA = r2.√3
Até aqui, temos XA/YA = r1/r2
Agora é tentar obter uma relação entre r1 e r2. Talvez, conseguir a medida do segmento PQ e trabalhar sobre o triângulo PQA. Lembrando que:
PA = r1 = lado do hexágono.
QA = lado do dodecágono.
QA² =(r2)². (2 - √3)
QA = r2.(√3 -1)/√2 = r2.(√6 - √2)/2
ou então, como você mesmo sugeriu, conseguir provar que o ∠XYA=15° (que de fato é), pois temos que ∠XAY=90° e a tg15°=(2 - √3)
Abs.
r = reta base (a horizontal)
w1 -----> r1
w2 -----> r2
Lembrando que PO1 e QO2 são perpendiculares a r.
∠QPA é ângulo de segmento em w1, portanto o ângulo central vale 60° e PA é lado do hexágono inscrito. Assim, XA é duas vezes a altura de um triângulo equilátero de lado r1 -----> XA = 2.r1.√3/2 -----> XA = r1.√3
∠PQA, idem ref. a w2, portanto o ângulo central vale 30° e QA é lado do dodecágono inscrito. Assim, YA é corda de um arco de 120° em w2, ou seja, vale o dobro da altura de um triângulo equilátero de lado r2 -----> YA = r2.√3
Até aqui, temos XA/YA = r1/r2
Agora é tentar obter uma relação entre r1 e r2. Talvez, conseguir a medida do segmento PQ e trabalhar sobre o triângulo PQA. Lembrando que:
PA = r1 = lado do hexágono.
QA = lado do dodecágono.
QA² =(r2)². (2 - √3)
QA = r2.(√3 -1)/√2 = r2.(√6 - √2)/2
ou então, como você mesmo sugeriu, conseguir provar que o ∠XYA=15° (que de fato é), pois temos que ∠XAY=90° e a tg15°=(2 - √3)
Abs.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10547
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Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Re: Círculos e Segmentos
ET: Gostaria que o nosso clg xsolodrop postasse a resol. quando a tiver.
Última edição por raimundo pereira em Qui 23 Jul 2015, 17:28, editado 1 vez(es)
raimundo pereira- Grupo
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Idade : 83
Localização : Rio de Janeiro
Re: Círculos e Segmentos
Se ajudar alguma coisa:
Não vejo de onde concluir que XAH ~ XAY.
Abaixo o link da imagem pelo geogebra:
Questão Geometria
Não vejo de onde concluir que XAH ~ XAY.
Abaixo o link da imagem pelo geogebra:
Questão Geometria
____________________________________________
← → ↛ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇
ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
Carlos Adir- Monitor
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Idade : 28
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Re: Círculos e Segmentos
Perfeito Carlos . Viajei nessa. Já apaguei. Com esse desenho as coisas ficaram mais claro.
Última edição por raimundo pereira em Qui 23 Jul 2015, 18:22, editado 1 vez(es)
raimundo pereira- Grupo
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