Inequação logarítmica

por **Carlos Adir** Qui 16 Jul 2015, 16:01

A pratica de dar UP é de dia em dia. Num prazo de 24 horas, conforme o Regulamento

Regulamento escreveu:V- Não é permitido postar mensagens em duplicidade. As repetições são desagradáveis e inúteis! A prática de "upar" ou "dar up" em questões é permitida uma única vez após 24 horas da postagem. Essa prática não se confunde com adicionar dúvidas novas a questões antigas, o que é permitido a qualquer tempo.

Agora respondendo a questão:
$\\ \mathrm{\dfrac{1}{\log_2 \ x} \le \dfrac{1}{\log_2 \sqrt{x+2}}} \\ \mathrm{\dfrac{1}{\log_2 \ x} - \dfrac{1}{\left(\dfrac{\log_2(x+2)}{2} \right )}\le 0} \\ \mathrm{\dfrac{\log_2(x+2)-2\log_2 x}{(\log_2 x)[\log_2(x+2)]}\le 0} \\ \mathrm{\dfrac{\log_2\left(\dfrac{x+2}{x^2} \right )}{(\log_2 x)[\log_2(x+2)]}\le 0}$
Agora, creio que não há mais maneira de simplificar.
Devemos analisar, primeiramente, a condição de existência, isto é, o denominador difere de zero:
$\\ \mathrm{\log_2 \ x \ne 0 \Rightarrow x \ne 1} \\ \mathrm{\log_2 \sqrt{x+2} \ne 0 \Rightarrow x \ne -1}$
E temos que analisar que sempre o valor dentro do logaritmo deve ser maior que zero:
$\mathrm{x>0}$

Agora, basta analisarmos o sinal.
Podemos perceber, que a parte de cima, será positiva quando:
$\mathrm{\log_2 \left(\dfrac{x+2}{x^2} \right )\ge 0 \Rightarrow \dfrac{x+2}{x^2} \ge 1 \Rightarrow -1 \le x \le 2}$
$\mathrm{\log_2\left(\dfrac{x+2}{x^2}\right) \ge 0 \Rightarrow 0<x \le 2}$
Fora deste intervalo, o numerador sempre será negativo.

Agora, vamos ao denominador, teremos:
$\\ \mathrm{\log_2 x < 0 \Rightarrow x<1} \\ \mathrm{\log_2(x+2)<0 \Rightarrow x<-1}$
O segundo caso aqui nem importa, pois não existe x<-1. Logo, a parte de x+2 sempre será positva.

Então, podemos analisar o intervalo:
Inequação logarítmica Q0DYVQQ

As partes em vermelho é quando um determinado é negativo, e em azul quando é positivo.

Logo, o intervalo que queremos será em que o intervalo resultante seja negativo.
Então, o que queremos é:
$\mathrm{S=\left]0, \ 1 \right [ \cup \left[2, \ +\infty \right ]}$