Aplicação Leis de Newton

Um bloco desliza para baixo sobre uma rampa de inclinação variável.

A) Quando a inclinação de Alpha da rampa é igual a 31º o bloco desce a uma velocidade constante. Determine o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa.

B) Mudando a inclinação da rampa para um novo angulo theta, o bloco desce a uma aceleração "a" constante, mostre que Theta é dado por:

Sin ( theta - alpha) = (a/g) * cos alpha

Onde que tan alpha = u (atrito)

C) Use a formula do item (b) e encontra a inclinação theta necessária para obter uma aceleração igual a 0,606g.

D) Se o bloco for lançado para cima a uma velocidade inicial igual a 10 m/s, que distancia ele se moverá até parar ?

A questão A já consegui fazer, peço ajuda nas restantes!

Respostas:

A força resultante (Fr = m.a) no bloco, a qual gerará movimento, é a decomposição (Pm) do vetor Peso (P = m.g) paralelo ao plano menos a força de atrito, de sentido oposto. Considere Atrito como At.

Fr = Pm - At (1)

Sendo que, pela decomposição em si, Pm = senθ.P (creio que já tenha feito isso pra resolver a A), e a Normal (N) é igual a cosθ.P . Sabemos também que At = u.N. Complementando o item A, pra tornar claro, se a velocidade é constante, logo a Fr é igual a 0, portanto vale que

0 = Pm - At
u.cosα.P = senα.P
u = senα/cosα = tgα = 0,60

Spoiler:

Substituindo o que sabemos na equação (1) temos

Fr = senθ.P - u.cosθ.P
m.a = mg.(senθ - tgα.cosθ)
a/g = senθ - tgα.cosθ
a/g = senθ - (senα/cosα).cosθ

Multiplicando tudo por cosα:

(a/g).cosα = senθ.cosα - senα.cosθ
(a/g).cosα = sen(θ - α) (2)

Isso responde o item B.

O item C é de substituição em (2):

(0,606.g/g).cos31º = sen (θ - 31º)
0,606.cos31º = sen (θ - 31º)
0,606.0,806 = sen (θ - 31º)
sen (θ - 31º) ~= 0,52
Arcsen 0,52 = 31º

θ - 31º = 31º
θ = 62º

Para a D, apliquemos Torricelli. O problema mesmo dessa questão é quanto os valores a serem substituídos, pois eu consultei a tabela para o cos31º, por exemplo, e não há nada explícito quanto ao valor da gravidade, mas vamos aproximar em 9,8 (ainda assim encontraremos um valor aproximado)

Vf² = Vo² + 2.a∆S
0 = 100 + 2.0,606g.∆S
∆S = 100/2.0,606.9,8 ~= 8,4... Em metros, não entendi o porquê de o gabarito trazer m/s²!!

Amigo, muito obrigado pelas resoluções, agora de noite estou sem tempo de aprecia-las por completo, mas achei interessante a resolução da B. Tinha parado ali antes da multiplicação por cos alpha e perdi hora tentando resolver e sempre chegava nessa equação, faltou um pouco de matemática a mim.
Mais uma vez, obrigado.

Disponha, um prazer. É pura questão de MMC, mas bem curioso cair justamente na fórmula de sen de ângulos subtraídos, boa questão! Abraço.