Alguém fera em integral de linha?

por **Pietro di Bernadone** Sáb 27 Jun 2015, 15:53

$Alguém fera em integral de linha? Gif$ , onde $Alguém fera em integral de linha? Gif$ é a intersecção da esfera $Alguém fera em integral de linha? Gif$ com o plano $Alguém fera em integral de linha? Gif$ .

por **mauk03** Sáb 27 Jun 2015, 19:17

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\\ x=y \end{matrix}\right.\Rightarrow x^{2}+x^{2}+z^{2}=4\Rightarrow \frac{x^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{4}=1$

Parametrizando a curva:
$x=y=\sqrt{2}\cos t$ , $z=2\sin t$ , $0\leq t\leq 2\pi$

Sabendo que:
$ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dz}{dt} \right )^{2}}dt$ $=\sqrt{(-\sqrt{2}\sin t)^{2}+(-\sqrt{2}\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}}dt=2\sqrt{\sin^{2} t+\cos^{2} t}dt=2dt$

Logo:
$\int_{C}xyds=\int_{0}^{2\pi }(\sqrt{2}\cos t)(2\sin t)2dt=2\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi }\sin 2tdt$ $=2\sqrt{2}\left [ -\frac{\cos 2t}{2} \right ]_{0}^{2\pi }=0$

Vc tem gabarito pra confirmar?

por **Pietro di Bernadone** Sáb 27 Jun 2015, 21:02

É 0 mesmo mauk03 Very Happy

Vou analisar com calma aqui e qualquer dúvida lhe pergunto.

Muito obrigado cheers

por **Pietro di Bernadone** Sáb 27 Jun 2015, 21:10

mauk03 escreveu:<
Parametrizando a curva:
$x=y=\sqrt{2}\cos t$ , $z=2\sin t$ , $0\leq t\leq 2\pi$ >

Como foi feita essa parametrização?

por **mauk03** Sáb 27 Jun 2015, 21:57

Sempre que tiver uma elipse $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ envolvida na curva vc deve fazer a substituições $x=a\cos t$ e $y=b\sin t$ , pois implicam na identidade $\sin^{2} t+\cos^{2} t=1$ , e assim simplificam a conta.