Hipérbole

por fighting Sáb 27 Jun 2015, 14:53

Calcule a soma das abcissas dos pontos P e Q, intersecção da reta ''r'' y=x, com a hipérbole de centro (-2,-1), eixo real=4 e um dos focos F(-2,2).

R:6

Obs: Como acho os pontos P e Q?

por **jango feet** Qua 08 Jul 2015, 15:02

Olá cabeça de panda.

Para encontrar os pontos P e Q você deve montar um sistema de equações com as equações das figuras, só que nós temos um problema, essa hipérbole não está equacionada, vamos trabalhar nela:

a hipérbole de centro (-2,-1), eixo real=4 e um dos focos F(-2,2)

Veja que a distância Dcf (centro ao foco) só existe quanto a ordenada (eixo y), logo concluímos que o eixo real é paralelo ao eixo Oy. O eixo real vale 4, então:

2a=4 --->a=2

Temos ainda que:

Dcf=3----->2c=6 (distância focal) conclusão: F"=(-2,-4)

R.F.H:

$c^2=a^2+b^2$
$\therefore b= \sqrt5$

Agora podemos formar um sistema, já que temos a equação completa da hipérbole:
$\frac{(x+2)^2}{5}+ \frac{(y+1)^2}{4}=1$

O sistema seria no caso:

$\frac{(x+2)^2}{5}+ \frac{(y+1)^2}{4}=1 \\ \left\{\begin{matrix} \frac{(x+2)^2}{5}+ \frac{(y+1)^2}{4}=1 & \\ y=x & \end{matrix}\right.$

Substituindo a segunda equação na primeira vamos encontrar a equação do segundo grau:

$x^2-6x+9=0$

Resolvendo-a obtemos que: P=Q=(3,0) somando as abcissas obtemos 6.

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