[ Polinômio ] 2° fase federal

por Barzini Sex 26 Jun 2015, 21:35

Um polinômio P(x), com coeficientes reais, é tal que P(1) = 1 e P(2) = -1. Calcule R(-11/2), se R(x) é o resto da divisão de P(x) por x^2 - 3x + 2.

Gabarito 14

por danjr5 Dom 28 Jun 2015, 15:25

Barzini escreveu:Um polinômio P(x), com coeficientes reais, é tal que P(1) = 1 e P(2) = -1. Calcule R(-11/2), se R(x) é o resto da divisão de P(x) por x^2 - 3x + 2.

Gabarito 14

Olá Barzini,
boa tarde!

Note que o maior resto possível da divisão de $P(x)$ por $x^2 - 3x + 2$ é uma expressão cujo grau vale 1, isto é, $r(x) = ax + b$ .

Do enunciado, tiramos que $(1, 1), (2, - 1) \in r(x)$ .

Encontremos, então, a equação:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\\\ a = \frac{- 1 - 1}{2 - 1} \\\\ a = - 2$

Por conseguinte,

$y = ax + b \\ 1 = (- 2) \cdot 1 + b \\ 1 = - 2 + b \\ b = 3$

Daí, $r(x) = - 2x + 3$ .

Por fim,

$\\ r(x) = - 2x + 3 \\\\ r\left ( - \frac{11}{2} \right ) = - 2 \cdot \frac{- 11}{2} + 3 \\\\ r\left ( - \frac{11}{2} \right ) = 11 + 3 \\\\ \boxed{r\left ( - \frac{11}{2} \right ) = 14}$

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