Equação paramétrica

por Johannes Seg 15 Jun 2015, 16:55

Obter equações paramétricas da reta que passa por A(-1,0,2) e é paralela a cada um dos planos ∏1: 2x +y +z+1=0 e ∏2: x-3y-z-5=0.

por **Carlos Adir** Seg 15 Jun 2015, 19:38

Se é paralelo aos dois planos, teremos que o vetor da reta será perpendicular às normais dos dois planos.
Traduzindo:
Da equação de cada plano, podemos conseguir o vetor normal de cada plano.
Após conseguir o vetor de cada plano, fazemos o produto vetorial.
Esse vetor encontrado será o vetor da reta.

Agora, vamos às contas:
$\\ \vec{v}=(2, \ 1, \ 1) \\ \vec{u}=(1, \ -3, \ -1) \\ \vec{r}=\vec{v} \times \vec{u}=\begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -1 \end{bmatrix} \\ \vec{r}=\left(2, \ 3, \ -7 \right ) \\ \mathrm{Equac\~ao \ da \ reta \ r:} \\ \mathrm{r: \ A + t \cdot} \vec{r} \\ \mathrm{r: \ (-1, \ 0, \ 2) + t \cdot \left(2, \ 3, \ -7 \right )}$

Achado a equação vetorial, podemos montar a equação parametrica:
$\mathrm{r: \ }\begin{cases}\mathrm{x=-1 + 2t} \\ \mathrm{y=0 + 3t} \\ \mathrm{z=2 - 7t} \end{cases}$

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