Binômio de Newton!!

(UFC-CE) Determine o coeficiente de x⁷ no desenvolvimento de ( x²/2 - 2/x)⁸.

Gab: -2048

Olá, vamos resolver:

Passo 1: ajustar o binômio
(x²/2 – 2/x)⁸ equivale a [x²/2 +(-2/x)]⁸ que equivale a  [x².2^-1+(-2.x^-1)]⁸
n=8
p=?

Passo 2: utilizar T_p+1= (n | p).a^n-p.b^p
T_p+1= (8 | p).(x².2^-1)^8-p.[-2.x^-1]^p
T_p+1= (8 | p).x^16-2p.2^-8+p.(-2)^p.x^-p

(passo interno 1: juntar as potências em x)
T_p+1= (8 | p).x^16-3p.2^-8+p.(-2)^p
(passo interno 2: valor de p)
16-3p=7
p=3

(passo interno 3: aplicar valor de p)
T₃₊₁= (8 | 3).x^16-3.3.2^-8+3.(-2)³
T₄= (8 | 3).x⁷.2^-5.(-2)³
T₄= (8!/3!5!).x⁷.2^-5.2².(-2)
T₄=56.x⁷.2^-3.(-2)
T₄=-112.x⁷.2^-3
T₄=-14x⁷

Passo 3: prova
Fazendo x²/2=a e -2/x=b, verifica-se com o triângulo de Pascal que para um binômio de grau 8 tem-se os seguintes coeficientes
1  8  28  56  70  56  28  8  1
1a⁸b⁰+8a⁷b¹+28a⁶b²+56a⁵b³+70a⁴b⁴+56a³b⁵+28a²b⁶+8a¹b⁷+1a⁰b⁸
Volte a atenção para o termo 4(lembrar de T₄ da operação feita acima)
56a⁵b³=56.(x²/2)⁵.(-2/x)³=56.(x¹⁰/2⁵).[(-2)³/x³]=56.[(-2)³/2⁵].x⁷=56.[(-2)/2³].x⁷=-14x⁷

Favor verificar o gabarito novamente, -2048 não bate com o resultado