Função Modular

por fernandosoaares Qua 27 maio 2015, 16:46

Determine a Imagem da função: Função Modular 2ep0pdg

A resposta é Im(f) = [2,0]. Expliquem de forma detalhada, por favor, porque eu não entendi nada deste exercício Mad

por **Carlos Adir** Qua 27 maio 2015, 21:32

Perceba que o ultimo módulo é apenas pra dizer que o resultado é sempre positivo.
Vamos observar uma função sem o primeiro módulo:
$\mathrm{g(x)=|x+1|-|x-1|}$
Podemos ver que há duas raizes, -1 e 1.
Assim, se x<-1, temos que |x+1| = -(x+1)
E do mesmo modo, se x<1, temos que |x-1|=-(x-1)
Podemos então separar três casos:
$\\ \mathrm{g(x)=}\begin{cases}\mathrm{[-(x+1)]-[-(x-1)], \ \ se \ x<-1} \\ \mathrm{(x+1)-[-(x-1)]; \ \ \ se -1<x<1} \\ \mathrm{(x+1)-(x-1); \ \ \ \ \ \ \ se \ 1 < x}\end{cases} \\ \mathrm{Arrumando \ obtemos:} \\ \mathrm{g(x)=}\begin{cases}\mathrm{-2, \ se \ x<-1} \\ \mathrm{2x; \ \ \ se \ -1<x<1} \\ \mathrm{2; \ \ \ se \ 1<x} \end{cases}$

Então, abaixo do -1 sempre será -2, acima do 1 sempre será 2, e entre -1 e 1, sempre será um valor entre -2 e 2(verifique).

Assim, a imagem de g(x) será [-2, 2].
E então, como f(x)=|g(x)|, então a imagem de f(x)=[0, 2]