Constra o gráfico da função
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Constra o gráfico da função
por Pietro di Bernadone Qua 20 maio 2015, 19:03
Esboce o gráfico da função 
.
Gerei o gráfico no Geogebra e deu essa "coisa do outro mundo"
Alguém pode me ajudar na construção desse gráfico?
Obrigado
Gerei o gráfico no Geogebra e deu essa "coisa do outro mundo"
Alguém pode me ajudar na construção desse gráfico?
Obrigado
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Re: Constra o gráfico da função
por Euclides Qua 20 maio 2015, 19:27
O denominador mostra as assíntotas em ±2. Os limites à esquerda e direita nesses pontos vão mostrar as tendências no ponto.
Os limites ao infinito de ambos os lados vão mostrar a assíntota horizontal em y=-1.
A derivada primeira em x=0 indicará o mínimo local em y=1.
Os limites ao infinito de ambos os lados vão mostrar a assíntota horizontal em y=-1.
A derivada primeira em x=0 indicará o mínimo local em y=1.
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Re: Constra o gráfico da função
por Fito42 Sex 22 maio 2015, 22:21
Eu gosto de analisar separadamente a função principal, a primeira e depois a segunda derivada:
Estudando a função:
-> Domínio = R - {-2,2}
-> A função é positiva no intervalo aberto (-2,2)
-> f(0) = 1
-> x→ +/-∞ f(x)→ -1 (assíntota horizontal)
-> x→-2 pela esquerda f(x)→ -∞
-> x→ -2 pela direita f(x)→ +∞
-> x→ 2 pela esquerda f(x)→ +∞
-> x→ 2 pela direita f(x)→ -∞
(Esses limites poderiam ser deduzidos analisando o sinal da função. Os pontos -2 e 2 são assíntotas verticais)
-> lim[f(x)/x] = 0 (não há assíntota oblíqua)
Estudando a primeira derivada:
f'(x) = 16x/(4-x²)²
O sinal da derivada não depende do denominador, apenas do numerador. Então f'(x) < 0 quando x<0 e f'(x)>0 quando x>0, logo
A função é decrescente para os reais negativos e crescente nos positivos.
Estudando a segunda derivada:
f''(x) = -16(3x²+4)/(x²-4)³
O numerador é sempre negativo, já que 3x²+4 é sempre positivo. O denominador controla o sinal da derivada:
f''(x)>0 no intervalo aberto (-2,2)
Então a função é convexa em (-2,2)
Reunindo essas informações, notamos que o gráfico começa em -1 para valores negativos de x até chegar próximo de -2, sempre decrescendo (primeira derivada <0) de forma côncava (voltada para baixo, segunda derivada <0). Próximo de -2, ele explode para o menos infinito. À direita desse ponto, a função começa do +∞ e vai decrescendo de forma convexa até cortar o eixo Y e 1 ( f(0) = 1). A partir desse ponto, ou seja, dos valores positivos, a função irá sempre crescer (derivada >0) Chegando próximo de 2, ela explode para +∞. A direita o gráfico irá explodir para o -∞ e crescerá de forma côncava, aproximando-se do -1, mas nunca tocando.
Estudando a função:
-> Domínio = R - {-2,2}
-> A função é positiva no intervalo aberto (-2,2)
-> f(0) = 1
-> x→ +/-∞ f(x)→ -1 (assíntota horizontal)
-> x→-2 pela esquerda f(x)→ -∞
-> x→ -2 pela direita f(x)→ +∞
-> x→ 2 pela esquerda f(x)→ +∞
-> x→ 2 pela direita f(x)→ -∞
(Esses limites poderiam ser deduzidos analisando o sinal da função. Os pontos -2 e 2 são assíntotas verticais)
-> lim[f(x)/x] = 0 (não há assíntota oblíqua)
Estudando a primeira derivada:
f'(x) = 16x/(4-x²)²
O sinal da derivada não depende do denominador, apenas do numerador. Então f'(x) < 0 quando x<0 e f'(x)>0 quando x>0, logo
A função é decrescente para os reais negativos e crescente nos positivos.
Estudando a segunda derivada:
f''(x) = -16(3x²+4)/(x²-4)³
O numerador é sempre negativo, já que 3x²+4 é sempre positivo. O denominador controla o sinal da derivada:
f''(x)>0 no intervalo aberto (-2,2)
Então a função é convexa em (-2,2)
Reunindo essas informações, notamos que o gráfico começa em -1 para valores negativos de x até chegar próximo de -2, sempre decrescendo (primeira derivada <0) de forma côncava (voltada para baixo, segunda derivada <0). Próximo de -2, ele explode para o menos infinito. À direita desse ponto, a função começa do +∞ e vai decrescendo de forma convexa até cortar o eixo Y e 1 ( f(0) = 1). A partir desse ponto, ou seja, dos valores positivos, a função irá sempre crescer (derivada >0) Chegando próximo de 2, ela explode para +∞. A direita o gráfico irá explodir para o -∞ e crescerá de forma côncava, aproximando-se do -1, mas nunca tocando.
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