Derivada parcial

por neoreload Qua 20 maio 2015, 05:31

Como resolver essa:

Utilize derivadas parciais para calcular $\frac{dy}{dx}$ se y=f(x) é definida implicitamente pela equação dada: $6x + \sqrt{xy}=3y-4$

Resposta:

Qual o passo a passo? Obrigado.

por **Carlos Adir** Qua 20 maio 2015, 12:31

por neoreload Qui 21 maio 2015, 06:36

Carlos Adir escreveu: $\\ \mathrm{6x + \sqrt{xy}=3y-4} \\ \mathrm{\dfrac{\partial}{\partial x} 6x + \dfrac{\partial}{\partial x}\sqrt{xy}=\dfrac{\partial}{\partial x} 3y - \dfrac{\partial}{\partial x} 4 } \\ \mathrm{6 \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\left(\dfrac{\partial}{\partial x} xy \right )}{2\sqrt{xy}}=3 \dfrac{\partial y}{\partial x}} \\ \mathrm{6 + \dfrac{x \cdot \dfrac{\partial y}{\partial x} + y \cdot \dfrac{\partial x}{\partial x}}{2 \sqrt{xy}}= 3 \cdot \dfrac{\partial y}{\partial x}} \\ \mathrm{6 + \dfrac{x \dfrac{\partial y}{\partial x} + y}{2\sqrt{xy}}=3 \dfrac{\partial y}{\partial x}} \\ \mathrm{6 + \dfrac{y}{2\sqrt{xy}}= \dfrac{\partial y}{\partial x} \left(3 - \dfrac{x}{2\sqrt{xy}} \right )}$
$\mathrm{\dfrac{\partial y}{\partial x}=\dfrac{12\sqrt{xy}+y}{6\sqrt{xy}-x}}$

Não consegui entender amigo, eu tinha aprendido a resolver fazendo de baixo pra cima, no caso dessa questão X ficaria no numerador e Y no denominador. Mas não deu certo, eu fiz assim:

Primeiro: $6x+(xy)^{\frac{1}{2}}-3y+4=0$

Segundo(baseado no X): $6+\frac{y}{2(xy)^{\frac{1}{2}}}\rightarrow \frac{12(xy)^{\frac{1}{2}}+y}{2(xy)^{\frac{1}{2}}}$

Terceiro(baseado no Y): $\frac{x}{2(xy)^{\frac{1}{2}}}-3\rightarrow \frac{x-6(xy)^{\frac{1}{2}}}{2(xy)^{\frac{1}{2}}}$

Quarto: $\frac{\frac{12\sqrt{xy}+y}{2\sqrt{xy}}}{\frac{x-6\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}}}$

Quinto: $\frac{24\sqrt{xy}+2y\sqrt{xy}}{2x\sqrt{xy}-12\sqrt{xy}}$

Chego perto do resultado, mas não sai disso ai. Eu tenho outras questões aqui nesse mesmo estilo, e fazendo dessa forma sempre vai de boas, menos essa.

por **Carlos Adir** Sáb 23 maio 2015, 10:28

Você não deriva em relação aos dois, somente em relação a x. Pois queremos achar dy/dx
Poderíamos escrever y=f(x) e sua derivada como f'(x).
Quando derivamos uma função, devemos aplicar a regra da cadeia(como vi que tu utilizaste) em tudo, o que faz que seja um pouco complicado.
No caso abaixo:
$\mathrm{[f(x)]^2 \longrightarrow \left[f(x) \right ]^{2-1} \cdot f'(x)}$

No caso do xy, ou seja, x f(x), temos:
$\mathrm{x \cdot f(x) \longrightarrow x' \cdot f(x)+f'(x) \cdot x = f(x)+x\cdot f'(x)}$

Repetindo, devemos derivar somente em relação a x, não a todos os elementos(no caso y também).
Tentando simplificar:
$\\ \mathrm{6x \longrightarrow 6} \\ \mathrm{\sqrt{x \cdot f(x)} \longrightarrow \dfrac{\left[x \cdot f(x) \right ]'}{2\sqrt{x \cdot f(x)}}} \\ \mathrm{-3f(x) \longrightarrow -3 \cdot f'(x)} \\ \mathrm{4 \longrightarrow 0}$

por neoreload Dom 24 maio 2015, 09:33

Carlos Adir escreveu:Você não deriva em relação aos dois, somente em relação a x. Pois queremos achar dy/dx
Poderíamos escrever y=f(x) e sua derivada como f'(x).
Quando derivamos uma função, devemos aplicar a regra da cadeia(como vi que tu utilizaste) em tudo, o que faz que seja um pouco complicado.
No caso abaixo:
$\mathrm{[f(x)]^2 \longrightarrow \left[f(x) \right ]^{2-1} \cdot f'(x)}$

No caso do xy, ou seja, x f(x), temos:
$\mathrm{x \cdot f(x) \longrightarrow x' \cdot f(x)+f'(x) \cdot x = f(x)+x\cdot f'(x)}$

Repetindo, devemos derivar somente em relação a x, não a todos os elementos(no caso y também).
Tentando simplificar:
$\\ \mathrm{6x \longrightarrow 6} \\ \mathrm{\sqrt{x \cdot f(x)} \longrightarrow \dfrac{\left[x \cdot f(x) \right ]'}{2\sqrt{x \cdot f(x)}}} \\ \mathrm{-3f(x) \longrightarrow -3 \cdot f'(x)} \\ \mathrm{4 \longrightarrow 0}$

Então amigo, creio que eu tenha feito da forma correta, mas n consigo sair do passo 4:

Primeiro: $6x+(xy)^{\frac{1}{2}}-3y+4=0$

Segundo(baseado no X): $6+\frac{y}{2(xy)^{\frac{1}{2}}}\rightarrow \frac{12(xy)^{\frac{1}{2}}+y}{2(xy)^{\frac{1}{2}}}$

Terceiro(baseado no Y): $\frac{x}{2(xy)^{\frac{1}{2}}}-3\rightarrow \frac{x-6(xy)^{\frac{1}{2}}}{2(xy)^{\frac{1}{2}}}$

Quarto: $\frac{\frac{12\sqrt{xy}+y}{2\sqrt{xy}}}{\frac{x-6\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}}}$

Eu ja fiz a multiplicação entre elas, mas não chego no resultado certo. Fica totalmente diferente

por **Carlos Adir** Dom 24 maio 2015, 10:03

Não entendi a sua dúvida ainda. Não sei porque derivou em relação a y, y nem é variável, é uma função!
Se tivessemos uma função de duas variáveis ai sim seria necessário derivar em relação aos dois, mas y é uma função de x.

Do quarto passo temos:
$\\ \mathrm{\dfrac{\left(\frac{12\sqrt{xy}+y}{2\sqrt{xy} \right )}}{\left( \frac{x-6\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}} \right )}=\dfrac{2\sqrt{xy}+y}{x-6\sqrt{xy}}}$
O quinto veio de onde?
O quinto passo poderiamos reescrever:
$\\ \mathrm{\dfrac{24\sqrt{xy}+2y\sqrt{xy}}{2x\sqrt{xy}-12\sqrt{xy}}=\dfrac{2\sqrt{xy}(12+y)}{2\sqrt{xy}(x-6)}=\dfrac{12+y}{x-6}}$

Meu calculo foi meio precário(tive que aprender sozinho), então sempre aprendi a derivar em relação a um quando tenho apenas uma variável, e sempre deu certo(neste exemplo também).

Pelo que vejo, temos o seguinte:
$\\ \dfrac{\partial}{\partial x}\left[6x+\sqrt{xy} \right ]=\left[6+\dfrac{y}{2\sqrt{xy}} \right ]\dfrac{\partial x}{\partial x} \\ \dfrac{\partial}{\partial y}\left[\sqrt{xy}-3y \right ]=\left[\dfrac{x}{2\sqrt{xy}}-3 \right ]\dfrac{\partial y} {\partial y} \\ \mathrm{Raz\~ao = \dfrac{\left(\left[6+\dfrac{y}{2\sqrt{xy}} \right ]\dfrac{\partial x}{\partial x} \right )}{\left(\left[\dfrac{x}{2\sqrt{xy}}-3 \right ]\dfrac{\partial y}{\partial y} \right )}=\dfrac{12\sqrt{xy}+y}{x-6\sqrt{xy}}\dfrac{\partial x \cdot \partial y}{\partial x \cdot \partial y}}$
Não temos o dy/dx separado, sempre anula-se se formos derivar em relação aos dois.

por neoreload Dom 24 maio 2015, 18:03

Carlos Adir escreveu:Não entendi a sua dúvida ainda. Não sei porque derivou em relação a y, y nem é variável, é uma função!
Se tivessemos uma função de duas variáveis ai sim seria necessário derivar em relação aos dois, mas y é uma função de x.

Do quarto passo temos:
$\\ \mathrm{\dfrac{\left(\frac{12\sqrt{xy}+y}{2\sqrt{xy} \right )}}{\left( \frac{x-6\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}} \right )}=\dfrac{2\sqrt{xy}+y}{x-6\sqrt{xy}}}$
O quinto veio de onde?
O quinto passo poderiamos reescrever:
$\\ \mathrm{\dfrac{24\sqrt{xy}+2y\sqrt{xy}}{2x\sqrt{xy}-12\sqrt{xy}}=\dfrac{2\sqrt{xy}(12+y)}{2\sqrt{xy}(x-6)}=\dfrac{12+y}{x-6}}$

Meu calculo foi meio precário(tive que aprender sozinho), então sempre aprendi a derivar em relação a um quando tenho apenas uma variável, e sempre deu certo(neste exemplo também).

Pelo que vejo, temos o seguinte:
$\\ \dfrac{\partial}{\partial x}\left[6x+\sqrt{xy} \right ]=\left[6+\dfrac{y}{2\sqrt{xy}} \right ]\dfrac{\partial x}{\partial x} \\ \dfrac{\partial}{\partial y}\left[\sqrt{xy}-3y \right ]=\left[\dfrac{x}{2\sqrt{xy}}-3 \right ]\dfrac{\partial y} {\partial y} \\ \mathrm{Raz\~ao = \dfrac{\left(\left[6+\dfrac{y}{2\sqrt{xy}} \right ]\dfrac{\partial x}{\partial x} \right )}{\left(\left[\dfrac{x}{2\sqrt{xy}}-3 \right ]\dfrac{\partial y}{\partial y} \right )}=\dfrac{12\sqrt{xy}+y}{x-6\sqrt{xy}}\dfrac{\partial x \cdot \partial y}{\partial x \cdot \partial y}}$
Não temos o dy/dx separado, sempre anula-se se formos derivar em relação aos dois.

Entendi, mas nesse caso ai que vc colocou o quinto passo, o resultado não deu o esperado né :S. Um colega falou que era pra colocar o termo comum em evidencia (como vc fez), e que assim iria dar a resposta: $\dfrac{12\sqrt{xy}+y}{6\sqrt{xy}-x}$ . Sabe como isso? partindo do quarto passo no caso.