Equação paramétrica

Dado o plano de equaçoes paramétricas

t e s números reais.
Determine:
um vetor normal a este plano e a equação cartesiana do plano que passa pela oriem, paralelo a este plano dado.

Olá,

Vou arriscar.

temos:

x = 1 + t - 2s

y = 1 - t + s

z = 1 + s

são as equações paramétricas do plano.

logo o ponto P ( 1, 1, 1 ) pertence ao plano.

vamos atribuir valores a t e s para obter mais dois pontos do plano:

para t = 1 e s = 2 -> P1 ( - 2, 2, 3 )

para t = 3 e s = 3 -> P2 (- 3, 1, 4 )

sejam os vetores do plano:

PP1 = (- 3, 1, 2 ) e PP2 = ( - 4, 0, 3 )

Determinemos o vetor n normal ao plano:

.................|1.......2..|........|..- 3....... 2..|.......|- 3......1....|............................->
PP1 x PP2 = |.............|* i - |..................|* j + |...............|* k = 3i + 1j + 4k -> n = ( 3, 1, 4 )
.................|0......3...|.......|.. - 4.......3...|.......|- 4......0....|


Equação do plano:

3*( x - 1 ) + 1*(y - 1 ) + 4*( z - 1 ) = 0

3x + y + 4z - 8 = 0

A equação do plano "alfa" que passa pela origem e é paralelo ao plano "beta" ( 3x +y + 4z - 8 = 0 ):

sendo "alfa" paralelo ao plano "beta" então o vetor n = (3, 1, 4 ) normal à "beta" será também nornal a "alfa"

A equação será do tipo:

3x + y + 4z + d = 0

Se passa pelo pontp P(0, 0, 0 ) então:

3*0 + y*0 + z*0 + d = 0 => d = 0

Assim a equação procurada será: 3x + y + 4z = 0