Progressão

Sabendo-se que o lado do primeiro quadrado de uma coleção de quadrados mede 1cm, o lado do segundo quadrado mede 2 cm, o do terceiro quadrado mede 3 cm, e assim sucessivamente, determine o número mínimo de quadrados que a coleção deve ter para que a soma dos comprimentos de todas diagonais dos quadrados seja maior ou igual a 420√2.


Eu consegui resolver mas acho que pelo caminho mais dificil, por ser uma questão de vestibular, fiz uma inequação de segundo grau em função de n(quantidade de quadrados) e a discriminante deu 6724, que é um número alto para achar a raíz em uma prova, há outro caminho?

viniciusdenucci escreveu:Sabendo-se que o lado do primeiro quadrado de uma coleção de quadrados mede 1cm, o lado do segundo quadrado mede 2 cm, o do terceiro quadrado mede 3 cm, e assim sucessivamente, determine o número mínimo de quadrados que a coleção deve ter para que a soma dos comprimentos de todas diagonais dos quadrados seja maior ou igual a 420√2.


Eu consegui resolver mas acho que pelo caminho mais dificil, por ser uma questão de vestibular, fiz uma inequação de segundo grau em função de n(quantidade de quadrados) e a discriminante deu 6724, que é um número alto para achar a raíz em uma prova, há outro caminho?

Bom dia, Vinicius.

A série dos comprimentos das diagonais forma uma P.A. em que todos os termos são múltiplos de √2.
Sendo assim, somaremos apenas os coeficientes dos termos em √2:
P.A. = √2, 2√2, 3√2, 4√2, ..... n√2
a1 = 1
r = 1
S = 420
n = ?


S = (1 + n).n/2
420 = (n²+n)/2

n² + n = 2*420
n² + n - 840 = 0

Resolvendo por Bhaskara, encontramos:
n ≥ 29






Um abraço.

Note que para o quadrado de um centímetro, sua diagonal mede \sqrt{2} \ cm , portanto a soma do comprimento de suas diagonais tem valor 2\sqrt{2} \ cm . Prosseguindo com quadrados de lados 2 \ cm, 3 \ cm... sucessivamente , calculando suas diagonais e somando-as, obtemos : 2(\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+...)

Assim, a soma dessa progressão aritmética deve ter valor 420\sqrt{2}, portanto: