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Equação trigonométrica

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Equação trigonométrica Empty Equação trigonométrica

Mensagem por Renan Phoenix Sex Abr 03 2015, 17:58

Resolva a equação a seguir:

cos 2x = sen (x + ∏/2)

Gabarito: S = {x∈ℝ|x = 4∏/3.K ou x = 2K∏, k∈ℤ}

Minha resolução (divergente do gabarito):

cos 2x = sen (x + ∏/2)

cos x = sen (x + ∏/2)

cos 2x = cos x
2x = x + 2k∏
x = 2K∏      ou      x = 2∏ - x + 2K∏
                           x = ∏ + K∏

S = {x∈ℝ|x = ∏ + K∏ ou x = 2K∏, k∈ℤ}

Desde já agradeço.
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Equação trigonométrica Empty Re: Equação trigonométrica

Mensagem por Mimetist Sex Abr 03 2015, 18:56

cos(2x)=2cos^2(x)-1=cos(x) \iff 2cos^2(x)-cos(x)-1=0

u=cos(x) \rightarrow 2u^2-u-1=0 \iff  (x+\frac{1}{2})(x-1)=0

Retornando à antiga variável:

cos(x)=1 \iff \boxed{x=2k\pi}

cos(x)=-\frac{1}{2} \iff \boxed{x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi} \ \ \text{ou} \ \ \boxed{x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi}
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