Vetores e o baricentro

por Elizabete 7 Seg 30 Mar 2015, 08:35

Ola!
Gostaria de auxilio no seguinte exercício

Seja ABC um triângulo. Suponha que M,N e P sejam os pontos médios de AB,BC e CA respectivamente. Seja G o ponto comum às retas AN e BP e seja H o ponto comum às retas AN e CM.

(a) Mostre que existem números reais , a,b,c e d tais que AG=aAN, BG=bBP,CH=cCM e AH=dAN.
(b) Mostre que a=b=c=d=2/3
(c) Mostre que G=H

observação item b ->AN ,BG,CM são vetores

Gostaria de uma resolução que envolvesse o conceito de vetores e que não utilizasse as propriedades conhecidas do baricentro.

Att,
Elizabete.

por **xSoloDrop** Seg 30 Mar 2015, 20:14

A) Para toda reta, existe um número x que multiplica a sua paralela (quando ambas são coplanares!). Como AG é paralela de AN, BG é paralela de BP, e assim por diante, temos números reais (a ,b, c e d) tais que AG=aAN, BG=bBP, CH=cCM e AH=dAN.

O desenvolvimento a seguir será utilizado para as letras B e C. Vale observar que a minha resolução é longa e particularmente difícil (quebrei a cabeça por várias horas! Shocked

).

B) Sendo todas as retas coplanares, temos que:

, portanto Vetores e o baricentro 2qvrz9e

, portanto Vetores e o baricentro 63u3is

Desse modo, concluímos que:

(EQUAÇÃO 1)

Agora é preciso que você note três coisas:

1º)

2º)

3º)

Agora substituindo na equação 1, temos:

Por fator comum, temos:

Então, analogamente temos que:

e

Portanto:

Para descobrir os valores de c e d, você terá que refazer o processo, mas com outros vetores! affraid

Como não sou matemático, não sei se eu posso aplicar reciprocidade nesse caso, mas refazendo o processo descobrimos que a=b=c=d=2/3.

C) Analogamente ao processo do começo de B:

Se igualarmos TODAS as equações (aquelas 2 do começo da letra B e as 2 do começo da letra C) que temos:

Percebeu alguma coisa? Do mesmo modo que , por exemplo, o vetor AG multiplica o vetor AN por 2/3, o vetor AH mupltiplicará o vetor AN por 2/3, desse modo podemos afirmar que G=H.